Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 4740 / 3948
↖ ↑ ↗
← N 79.472592°
W127.924805°		 ← 223.20 m → N 79.472592°
W127.913818°		 →
↑
223.18 m
↓
↑
223.18 m
↓
N 79.470585°
W127.924805°		 ← 223.24 m →
49 818 m²		 N 79.470585°
W127.913818°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4740 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3948 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144668579101562 y=0.120498657226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144668579101562 × 215)
    floor (0.144668579101562 × 32768)
    floor (4740.5)     		tx = 4740
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120498657226562 × 215)
    floor (0.120498657226562 × 32768)
    floor (3948.5)     		ty = 3948
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4740 / 3948 ti = "15/4740/3948"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4740/3948.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4740 ÷ 215
    4740 ÷ 32768     		x = 0.1446533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3948 ÷ 215
    3948 ÷ 32768     		y = 0.1204833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1446533203125 × 2 - 1) × π
    -0.710693359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.23270904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1204833984375 × 2 - 1) × π
    0.759033203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.38457313470007
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23270904} λ = -2.23270904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38457313470007))-π/2
    2×atan(10.8544282970749)-π/2
    2×1.47892735994158-π/2
    2.95785471988317-1.57079632675     		φ = 1.38705839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23270904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.924805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38705839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.472592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4740 KachelY 3948 -2.23270904 1.38705839 -127.924805 79.472592
    Oben rechts KachelX + 1 4741 KachelY 3948 -2.23251729 1.38705839 -127.913818 79.472592
    Unten links KachelX 4740 KachelY + 1 3949 -2.23270904 1.38702336 -127.924805 79.470585
    Unten rechts KachelX + 1 4741 KachelY + 1 3949 -2.23251729 1.38702336 -127.913818 79.470585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38705839-1.38702336) × R
    3.5030000000047e-05 × 6371000     		dl = 223.176130000299m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38705839-1.38702336) × R
    3.5030000000047e-05 × 6371000     		dr = 223.176130000299m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23270904--2.23251729) × cos(1.38705839) × R
    0.000191749999999935 × 0.182705859687153 × 6371000     		do = 223.200649398743m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23270904--2.23251729) × cos(1.38702336) × R
    0.000191749999999935 × 0.182740299936772 × 6371000     		du = 223.242722959458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38705839)-sin(1.38702336))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182705859687153-0.182740299936772)×R²
    abs(-2.23251729--2.23270904)×3.44402496191276e-05×R²
    0.000191749999999935×3.44402496191276e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.44402496191276e-05×40589641000000     		ar = 49817.7520592557m²