Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 474 / 251
↖ ↑ ↗
← N 67.204033°
W 13.359375°		 ← 15.146 km → N 67.204033°
W 13.007813°		 →
↑
15.189 km
↓
↑
15.189 km
↓
N 67.067433°
W 13.359375°		 ← 15.232 km →
230.710 km²		 N 67.067433°
W 13.007813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 474 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 251 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46337890625 y=0.24560546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46337890625 × 210)
    floor (0.46337890625 × 1024)
    floor (474.5)     		tx = 474
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.24560546875 × 210)
    floor (0.24560546875 × 1024)
    floor (251.5)     		ty = 251
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 474 / 251 ti = "10/474/251"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/474/251.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 474 ÷ 210
    474 ÷ 1024     		x = 0.462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 251 ÷ 210
    251 ÷ 1024     		y = 0.2451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462890625 × 2 - 1) × π
    -0.07421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23316508
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2451171875 × 2 - 1) × π
    0.509765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.60147594250684
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23316508} λ = -0.23316508}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.60147594250684))-π/2
    2×atan(4.96034821300164)-π/2
    2×1.37186398089313-π/2
    2.74372796178627-1.57079632675     		φ = 1.17293164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23316508} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.359375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17293164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.204033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 474 KachelY 251 -0.23316508 1.17293164 -13.359375 67.204033
    Oben rechts KachelX + 1 475 KachelY 251 -0.22702916 1.17293164 -13.007813 67.204033
    Unten links KachelX 474 KachelY + 1 252 -0.23316508 1.17054753 -13.359375 67.067433
    Unten rechts KachelX + 1 475 KachelY + 1 252 -0.22702916 1.17054753 -13.007813 67.067433
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17293164-1.17054753) × R
    0.00238411000000016 × 6371000     		dl = 15189.164810001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17293164-1.17054753) × R
    0.00238411000000016 × 6371000     		dr = 15189.164810001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23316508--0.22702916) × cos(1.17293164) × R
    0.00613591999999999 × 0.387450702311745 × 6371000     		do = 15146.202056417m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23316508--0.22702916) × cos(1.17054753) × R
    0.00613591999999999 × 0.389647487277031 × 6371000     		du = 15232.0786563566m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17293164)-sin(1.17054753))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387450702311745-0.389647487277031)×R²
    abs(-0.22702916--0.23316508)×0.00219678496528641×R²
    0.00613591999999999×0.00219678496528641×6371000²
    0.00613591999999999×0.00219678496528641×40589641000000     		ar = 230710465.474887m²