Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 474 / 207
↖ ↑ ↗
← N 72.501722°
W 13.359375°		 ← 11.754 km → N 72.501722°
W 13.007813°		 →
↑
11.789 km
↓
↑
11.789 km
↓
N 72.395706°
W 13.359375°		 ← 11.823 km →
138.969 km²		 N 72.395706°
W 13.007813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 474 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 207 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46337890625 y=0.20263671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46337890625 × 210)
    floor (0.46337890625 × 1024)
    floor (474.5)     		tx = 474
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.20263671875 × 210)
    floor (0.20263671875 × 1024)
    floor (207.5)     		ty = 207
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 474 / 207 ti = "10/474/207"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/474/207.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 474 ÷ 210
    474 ÷ 1024     		x = 0.462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 207 ÷ 210
    207 ÷ 1024     		y = 0.2021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462890625 × 2 - 1) × π
    -0.07421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23316508
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2021484375 × 2 - 1) × π
    0.595703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.87145656116699
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23316508} λ = -0.23316508}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87145656116699))-π/2
    2×atan(6.49775388589365)-π/2
    2×1.4180950475887-π/2
    2.8361900951774-1.57079632675     		φ = 1.26539377
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23316508} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.359375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26539377 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.501722°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 474 KachelY 207 -0.23316508 1.26539377 -13.359375 72.501722
    Oben rechts KachelX + 1 475 KachelY 207 -0.22702916 1.26539377 -13.007813 72.501722
    Unten links KachelX 474 KachelY + 1 208 -0.23316508 1.26354343 -13.359375 72.395706
    Unten rechts KachelX + 1 475 KachelY + 1 208 -0.22702916 1.26354343 -13.007813 72.395706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26539377-1.26354343) × R
    0.00185034000000006 × 6371000     		dl = 11788.5161400004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26539377-1.26354343) × R
    0.00185034000000006 × 6371000     		dr = 11788.5161400004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23316508--0.22702916) × cos(1.26539377) × R
    0.00613591999999999 × 0.300677128439388 × 6371000     		do = 11754.0541646043m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23316508--0.22702916) × cos(1.26354343) × R
    0.00613591999999999 × 0.302441330058417 × 6371000     		du = 11823.020239593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26539377)-sin(1.26354343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300677128439388-0.302441330058417)×R²
    abs(-0.22702916--0.23316508)×0.00176420161902918×R²
    0.00613591999999999×0.00176420161902918×6371000²
    0.00613591999999999×0.00176420161902918×40589641000000     		ar = 138969400.723743m²