Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47399 / 55567
↖ ↑ ↗
← N 26.394330°
W 49.814758°		 ← 273.59 m → N 26.394330°
W 49.812012°		 →
↑
273.57 m
↓
↑
273.57 m
↓
N 26.391870°
W 49.814758°		 ← 273.59 m →
74 846 m²		 N 26.391870°
W 49.812012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47399 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.361629486083984 y=0.423946380615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.361629486083984 × 217)
    floor (0.361629486083984 × 131072)
    floor (47399.5)     		tx = 47399
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423946380615234 × 217)
    floor (0.423946380615234 × 131072)
    floor (55567.5)     		ty = 55567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47399 / 55567 ti = "17/47399/55567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47399/55567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47399 ÷ 217
    47399 ÷ 131072     		x = 0.361625671386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55567 ÷ 217
    55567 ÷ 131072     		y = 0.423942565917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.361625671386719 × 2 - 1) × π
    -0.276748657226562 × 3.1415926535     		Λ = -0.86943155
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423942565917969 × 2 - 1) × π
    0.152114868164062 × 3.1415926535     		Φ = 0.47788295231234
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.86943155} λ = -0.86943155}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.47788295231234))-π/2
    2×atan(1.61265671459693)-π/2
    2×1.0157321442618-π/2
    2.03146428852361-1.57079632675     		φ = 0.46066796
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.86943155} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.814758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46066796 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.394330°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47399 KachelY 55567 -0.86943155 0.46066796 -49.814758 26.394330
    Oben rechts KachelX + 1 47400 KachelY 55567 -0.86938361 0.46066796 -49.812012 26.394330
    Unten links KachelX 47399 KachelY + 1 55568 -0.86943155 0.46062502 -49.814758 26.391870
    Unten rechts KachelX + 1 47400 KachelY + 1 55568 -0.86938361 0.46062502 -49.812012 26.391870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46066796-0.46062502) × R
    4.29399999999913e-05 × 6371000     		dl = 273.570739999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46066796-0.46062502) × R
    4.29399999999913e-05 × 6371000     		dr = 273.570739999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.86943155--0.86938361) × cos(0.46066796) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.895755758073932 × 6371000     		do = 273.586865269446m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.86943155--0.86938361) × cos(0.46062502) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.895774846076327 × 6371000     		du = 273.592695236702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46066796)-sin(0.46062502))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895755758073932-0.895774846076327)×R²
    abs(-0.86938361--0.86943155)×1.9088002394918e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.9088002394918e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.9088002394918e-05×40589641000000     		ar = 74846.1586518064m²