Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47394 / 55564
↖ ↑ ↗
← N 26.401711°
W 49.828491°		 ← 273.51 m → N 26.401711°
W 49.825745°		 →
↑
273.57 m
↓
↑
273.57 m
↓
N 26.399250°
W 49.828491°		 ← 273.52 m →
74 826 m²		 N 26.399250°
W 49.825745°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47394 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.361591339111328 y=0.423923492431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.361591339111328 × 217)
    floor (0.361591339111328 × 131072)
    floor (47394.5)     		tx = 47394
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423923492431641 × 217)
    floor (0.423923492431641 × 131072)
    floor (55564.5)     		ty = 55564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47394 / 55564 ti = "17/47394/55564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47394/55564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47394 ÷ 217
    47394 ÷ 131072     		x = 0.361587524414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55564 ÷ 217
    55564 ÷ 131072     		y = 0.423919677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.361587524414062 × 2 - 1) × π
    -0.276824951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.86967123
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423919677734375 × 2 - 1) × π
    0.15216064453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.4780267630112
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.86967123} λ = -0.86967123}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.4780267630112))-π/2
    2×atan(1.61288864856297)-π/2
    2×1.01579655183353-π/2
    2.03159310366706-1.57079632675     		φ = 0.46079678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.86967123} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.828491°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46079678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.401711°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47394 KachelY 55564 -0.86967123 0.46079678 -49.828491 26.401711
    Oben rechts KachelX + 1 47395 KachelY 55564 -0.86962330 0.46079678 -49.825745 26.401711
    Unten links KachelX 47394 KachelY + 1 55565 -0.86967123 0.46075384 -49.828491 26.399250
    Unten rechts KachelX + 1 47395 KachelY + 1 55565 -0.86962330 0.46075384 -49.825745 26.399250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46079678-0.46075384) × R
    4.29399999999913e-05 × 6371000     		dl = 273.570739999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46079678-0.46075384) × R
    4.29399999999913e-05 × 6371000     		dr = 273.570739999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.86967123--0.86962330) × cos(0.46079678) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.895698484157087 × 6371000     		do = 273.512307390298m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.86967123--0.86962330) × cos(0.46075384) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.895717577114277 × 6371000     		du = 273.518137654465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46079678)-sin(0.46075384))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895698484157087-0.895717577114277)×R²
    abs(-0.86962330--0.86967123)×1.90929571899368e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.90929571899368e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.90929571899368e-05×40589641000000     		ar = 74825.7618381707m²