Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4739 / 3974
↖ ↑ ↗
← N 79.420275°
W127.935791°		 ← 224.29 m → N 79.420275°
W127.924805°		 →
↑
224.32 m
↓
↑
224.32 m
↓
N 79.418258°
W127.935791°		 ← 224.33 m →
50 317 m²		 N 79.418258°
W127.924805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4739 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3974 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144638061523438 y=0.121292114257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144638061523438 × 215)
    floor (0.144638061523438 × 32768)
    floor (4739.5)     		tx = 4739
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121292114257812 × 215)
    floor (0.121292114257812 × 32768)
    floor (3974.5)     		ty = 3974
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4739 / 3974 ti = "15/4739/3974"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4739/3974.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4739 ÷ 215
    4739 ÷ 32768     		x = 0.144622802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3974 ÷ 215
    3974 ÷ 32768     		y = 0.12127685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.144622802734375 × 2 - 1) × π
    -0.71075439453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.23290078
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12127685546875 × 2 - 1) × π
    0.7574462890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.37958769713959
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23290078} λ = -2.23290078}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37958769713959))-π/2
    2×atan(10.8004488898302)-π/2
    2×1.47847080769856-π/2
    2.95694161539712-1.57079632675     		φ = 1.38614529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23290078} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.935791°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38614529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.420275°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4739 KachelY 3974 -2.23290078 1.38614529 -127.935791 79.420275
    Oben rechts KachelX + 1 4740 KachelY 3974 -2.23270904 1.38614529 -127.924805 79.420275
    Unten links KachelX 4739 KachelY + 1 3975 -2.23290078 1.38611008 -127.935791 79.418258
    Unten rechts KachelX + 1 4740 KachelY + 1 3975 -2.23270904 1.38611008 -127.924805 79.418258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38614529-1.38611008) × R
    3.52100000000632e-05 × 6371000     		dl = 224.322910000403m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38614529-1.38611008) × R
    3.52100000000632e-05 × 6371000     		dr = 224.322910000403m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23290078--2.23270904) × cos(1.38614529) × R
    0.000191739999999996 × 0.183603513750497 × 6371000     		do = 224.285561455656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23290078--2.23270904) × cos(1.38611008) × R
    0.000191739999999996 × 0.183638125080107 × 6371000     		du = 224.327841809314m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38614529)-sin(1.38611008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183603513750497-0.183638125080107)×R²
    abs(-2.23270904--2.23290078)×3.46113296096351e-05×R²
    0.000191739999999996×3.46113296096351e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.46113296096351e-05×40589641000000     		ar = 50317.1320484279m²