Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4739 / 2681
↖ ↑ ↗
← N 81.734251°
W127.935791°		 ← 175.62 m → N 81.734251°
W127.924805°		 →
↑
175.65 m
↓
↑
175.65 m
↓
N 81.732671°
W127.935791°		 ← 175.65 m →
30 850 m²		 N 81.732671°
W127.924805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4739 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2681 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144638061523438 y=0.0818328857421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144638061523438 × 215)
    floor (0.144638061523438 × 32768)
    floor (4739.5)     		tx = 4739
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0818328857421875 × 215)
    floor (0.0818328857421875 × 32768)
    floor (2681.5)     		ty = 2681
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4739 / 2681 ti = "15/4739/2681"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4739/2681.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4739 ÷ 215
    4739 ÷ 32768     		x = 0.144622802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2681 ÷ 215
    2681 ÷ 32768     		y = 0.081817626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.144622802734375 × 2 - 1) × π
    -0.71075439453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.23290078
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.081817626953125 × 2 - 1) × π
    0.83636474609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.62751734197452
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23290078} λ = -2.23290078}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62751734197452))-π/2
    2×atan(13.8393687966985)-π/2
    2×1.49866405991716-π/2
    2.99732811983432-1.57079632675     		φ = 1.42653179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23290078} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.935791°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42653179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.734251°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4739 KachelY 2681 -2.23290078 1.42653179 -127.935791 81.734251
    Oben rechts KachelX + 1 4740 KachelY 2681 -2.23270904 1.42653179 -127.924805 81.734251
    Unten links KachelX 4739 KachelY + 1 2682 -2.23290078 1.42650422 -127.935791 81.732671
    Unten rechts KachelX + 1 4740 KachelY + 1 2682 -2.23270904 1.42650422 -127.924805 81.732671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42653179-1.42650422) × R
    2.75700000000878e-05 × 6371000     		dl = 175.648470000559m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42653179-1.42650422) × R
    2.75700000000878e-05 × 6371000     		dr = 175.648470000559m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23290078--2.23270904) × cos(1.42653179) × R
    0.000191739999999996 × 0.143764645512713 × 6371000     		do = 175.619374475097m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23290078--2.23270904) × cos(1.42650422) × R
    0.000191739999999996 × 0.143791929058351 × 6371000     		du = 175.652703387093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42653179)-sin(1.42650422))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143764645512713-0.143791929058351)×R²
    abs(-2.23270904--2.23290078)×2.72835456376352e-05×R²
    0.000191739999999996×2.72835456376352e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.72835456376352e-05×40589641000000     		ar = 30850.2015167352m²