Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47383 / 55655
↖ ↑ ↗
← N 26.177624°
W 49.858704°		 ← 274.10 m → N 26.177624°
W 49.855957°		 →
↑
274.08 m
↓
↑
274.08 m
↓
N 26.175159°
W 49.858704°		 ← 274.10 m →
75 126 m²		 N 26.175159°
W 49.855957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47383 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55655 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.361507415771484 y=0.424617767333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.361507415771484 × 217)
    floor (0.361507415771484 × 131072)
    floor (47383.5)     		tx = 47383
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424617767333984 × 217)
    floor (0.424617767333984 × 131072)
    floor (55655.5)     		ty = 55655
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47383 / 55655 ti = "17/47383/55655"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47383/55655.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47383 ÷ 217
    47383 ÷ 131072     		x = 0.361503601074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55655 ÷ 217
    55655 ÷ 131072     		y = 0.424613952636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.361503601074219 × 2 - 1) × π
    -0.276992797851562 × 3.1415926535     		Λ = -0.87019854
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424613952636719 × 2 - 1) × π
    0.150772094726562 × 3.1415926535     		Φ = 0.473664505145775
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87019854} λ = -0.87019854}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.473664505145775))-π/2
    2×atan(1.60586813614542)-π/2
    2×1.01384102694792-π/2
    2.02768205389583-1.57079632675     		φ = 0.45688573
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87019854} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.858704°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45688573 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.177624°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47383 KachelY 55655 -0.87019854 0.45688573 -49.858704 26.177624
    Oben rechts KachelX + 1 47384 KachelY 55655 -0.87015060 0.45688573 -49.855957 26.177624
    Unten links KachelX 47383 KachelY + 1 55656 -0.87019854 0.45684271 -49.858704 26.175159
    Unten rechts KachelX + 1 47384 KachelY + 1 55656 -0.87015060 0.45684271 -49.855957 26.175159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45688573-0.45684271) × R
    4.30200000000047e-05 × 6371000     		dl = 274.08042000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45688573-0.45684271) × R
    4.30200000000047e-05 × 6371000     		dr = 274.08042000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87019854--0.87015060) × cos(0.45688573) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.897430724303103 × 6371000     		do = 274.098443068831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87019854--0.87015060) × cos(0.45684271) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.897449701978355 × 6371000     		du = 274.104239339339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45688573)-sin(0.45684271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897430724303103-0.897449701978355)×R²
    abs(-0.87015060--0.87019854)×1.897767525183e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.897767525183e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.897767525183e-05×40589641000000     		ar = 75125.8107313719m²