Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47379 / 56572
↖ ↑ ↗
← N 23.895883°
W 49.869690°		 ← 279.25 m → N 23.895883°
W 49.866943°		 →
↑
279.24 m
↓
↑
279.24 m
↓
N 23.893371°
W 49.869690°		 ← 279.25 m →
77 978 m²		 N 23.893371°
W 49.866943°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47379 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56572 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.361476898193359 y=0.431613922119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.361476898193359 × 217)
    floor (0.361476898193359 × 131072)
    floor (47379.5)     		tx = 47379
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431613922119141 × 217)
    floor (0.431613922119141 × 131072)
    floor (56572.5)     		ty = 56572
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47379 / 56572 ti = "17/47379/56572"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47379/56572.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47379 ÷ 217
    47379 ÷ 131072     		x = 0.361473083496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56572 ÷ 217
    56572 ÷ 131072     		y = 0.431610107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.361473083496094 × 2 - 1) × π
    -0.277053833007812 × 3.1415926535     		Λ = -0.87039029
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431610107421875 × 2 - 1) × π
    0.13677978515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.429706368194183
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87039029} λ = -0.87039029}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.429706368194183))-π/2
    2×atan(1.53680620211004)-π/2
    2×0.993929078816647-π/2
    1.98785815763329-1.57079632675     		φ = 0.41706183
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87039029} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.869690°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41706183 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.895883°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47379 KachelY 56572 -0.87039029 0.41706183 -49.869690 23.895883
    Oben rechts KachelX + 1 47380 KachelY 56572 -0.87034235 0.41706183 -49.866943 23.895883
    Unten links KachelX 47379 KachelY + 1 56573 -0.87039029 0.41701800 -49.869690 23.893371
    Unten rechts KachelX + 1 47380 KachelY + 1 56573 -0.87034235 0.41701800 -49.866943 23.893371
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41706183-0.41701800) × R
    4.38300000000225e-05 × 6371000     		dl = 279.240930000143m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41706183-0.41701800) × R
    4.38300000000225e-05 × 6371000     		dr = 279.240930000143m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87039029--0.87034235) × cos(0.41706183) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.914283066845009 × 6371000     		do = 279.245582260423m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87039029--0.87034235) × cos(0.41701800) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.914300820442901 × 6371000     		du = 279.251004666197m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41706183)-sin(0.41701800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.914283066845009-0.914300820442901)×R²
    abs(-0.87034235--0.87039029)×1.77535978914678e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.77535978914678e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.77535978914678e-05×40589641000000     		ar = 77977.5531801238m²