Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47378 / 56570
↖ ↑ ↗
← N 23.900905°
W 49.872436°		 ← 279.18 m → N 23.900905°
W 49.869690°		 →
↑
279.18 m
↓
↑
279.18 m
↓
N 23.898394°
W 49.872436°		 ← 279.18 m →
77 940 m²		 N 23.898394°
W 49.869690°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47378 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.361469268798828 y=0.431598663330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.361469268798828 × 217)
    floor (0.361469268798828 × 131072)
    floor (47378.5)     		tx = 47378
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431598663330078 × 217)
    floor (0.431598663330078 × 131072)
    floor (56570.5)     		ty = 56570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47378 / 56570 ti = "17/47378/56570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47378/56570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47378 ÷ 217
    47378 ÷ 131072     		x = 0.361465454101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56570 ÷ 217
    56570 ÷ 131072     		y = 0.431594848632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.361465454101562 × 2 - 1) × π
    -0.277069091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.87043822
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431594848632812 × 2 - 1) × π
    0.136810302734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.429802241993423
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87043822} λ = -0.87043822}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.429802241993423))-π/2
    2×atan(1.53695354862256)-π/2
    2×0.993972905861132-π/2
    1.98794581172226-1.57079632675     		φ = 0.41714948
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87043822} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.872436°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41714948 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.900905°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47378 KachelY 56570 -0.87043822 0.41714948 -49.872436 23.900905
    Oben rechts KachelX + 1 47379 KachelY 56570 -0.87039029 0.41714948 -49.869690 23.900905
    Unten links KachelX 47378 KachelY + 1 56571 -0.87043822 0.41710566 -49.872436 23.898394
    Unten rechts KachelX + 1 47379 KachelY + 1 56571 -0.87039029 0.41710566 -49.869690 23.898394
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41714948-0.41710566) × R
    4.38200000000277e-05 × 6371000     		dl = 279.177220000177m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41714948-0.41710566) × R
    4.38200000000277e-05 × 6371000     		dr = 279.177220000177m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87043822--0.87039029) × cos(0.41714948) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.914247558431618 × 6371000     		do = 279.176490365394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87043822--0.87039029) × cos(0.41710566) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.914265311490717 × 6371000     		du = 279.181911475559m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41714948)-sin(0.41710566))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.914247558431618-0.914265311490717)×R²
    abs(-0.87039029--0.87043822)×1.77530590986796e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.77530590986796e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.77530590986796e-05×40589641000000     		ar = 77940.473207297m²