Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47376 / 55568
↖ ↑ ↗
← N 26.391870°
W 49.877930°		 ← 273.59 m → N 26.391870°
W 49.875183°		 →
↑
273.57 m
↓
↑
273.57 m
↓
N 26.389409°
W 49.877930°		 ← 273.60 m →
74 848 m²		 N 26.389409°
W 49.875183°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55568 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.361454010009766 y=0.423954010009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.361454010009766 × 217)
    floor (0.361454010009766 × 131072)
    floor (47376.5)     		tx = 47376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423954010009766 × 217)
    floor (0.423954010009766 × 131072)
    floor (55568.5)     		ty = 55568
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47376 / 55568 ti = "17/47376/55568"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47376/55568.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47376 ÷ 217
    47376 ÷ 131072     		x = 0.3614501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55568 ÷ 217
    55568 ÷ 131072     		y = 0.4239501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3614501953125 × 2 - 1) × π
    -0.277099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.87053410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4239501953125 × 2 - 1) × π
    0.152099609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.47783501541272
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87053410} λ = -0.87053410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.47783501541272))-π/2
    2×atan(1.61257941068675)-π/2
    2×1.01571067415613-π/2
    2.03142134831227-1.57079632675     		φ = 0.46062502
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87053410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.877930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46062502 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.391870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47376 KachelY 55568 -0.87053410 0.46062502 -49.877930 26.391870
    Oben rechts KachelX + 1 47377 KachelY 55568 -0.87048616 0.46062502 -49.875183 26.391870
    Unten links KachelX 47376 KachelY + 1 55569 -0.87053410 0.46058208 -49.877930 26.389409
    Unten rechts KachelX + 1 47377 KachelY + 1 55569 -0.87048616 0.46058208 -49.875183 26.389409
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46062502-0.46058208) × R
    4.29399999999913e-05 × 6371000     		dl = 273.570739999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46062502-0.46058208) × R
    4.29399999999913e-05 × 6371000     		dr = 273.570739999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87053410--0.87048616) × cos(0.46062502) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.895774846076327 × 6371000     		do = 273.592695236069m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87053410--0.87048616) × cos(0.46058208) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.895793932427053 × 6371000     		du = 273.598524698863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46062502)-sin(0.46058208))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895774846076327-0.895793932427053)×R²
    abs(-0.87048616--0.87053410)×1.90863507263384e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.90863507263384e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.90863507263384e-05×40589641000000     		ar = 74847.7534910246m²