Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47373 / 56592
↖ ↑ ↗
← N 23.845650°
W 49.886170°		 ← 279.35 m → N 23.845650°
W 49.883423°		 →
↑
279.30 m
↓
↑
279.30 m
↓
N 23.843138°
W 49.886170°		 ← 279.36 m →
78 026 m²		 N 23.843138°
W 49.883423°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47373 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56592 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.361431121826172 y=0.431766510009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.361431121826172 × 217)
    floor (0.361431121826172 × 131072)
    floor (47373.5)     		tx = 47373
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431766510009766 × 217)
    floor (0.431766510009766 × 131072)
    floor (56592.5)     		ty = 56592
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47373 / 56592 ti = "17/47373/56592"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47373/56592.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47373 ÷ 217
    47373 ÷ 131072     		x = 0.361427307128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56592 ÷ 217
    56592 ÷ 131072     		y = 0.4317626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.361427307128906 × 2 - 1) × π
    -0.277145385742188 × 3.1415926535     		Λ = -0.87067791
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4317626953125 × 2 - 1) × π
    0.136474609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.428747630201782
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87067791} λ = -0.87067791}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.428747630201782))-π/2
    2×atan(1.5353335136911)-π/2
    2×0.99349071480058-π/2
    1.98698142960116-1.57079632675     		φ = 0.41618510
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87067791} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.886170°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41618510 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.845650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47373 KachelY 56592 -0.87067791 0.41618510 -49.886170 23.845650
    Oben rechts KachelX + 1 47374 KachelY 56592 -0.87062997 0.41618510 -49.883423 23.845650
    Unten links KachelX 47373 KachelY + 1 56593 -0.87067791 0.41614126 -49.886170 23.843138
    Unten rechts KachelX + 1 47374 KachelY + 1 56593 -0.87062997 0.41614126 -49.883423 23.843138
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41618510-0.41614126) × R
    4.38399999999617e-05 × 6371000     		dl = 279.304639999756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41618510-0.41614126) × R
    4.38399999999617e-05 × 6371000     		dr = 279.304639999756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87067791--0.87062997) × cos(0.41618510) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.914637857597 × 6371000     		do = 279.353944489042m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87067791--0.87062997) × cos(0.41614126) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.914655580096848 × 6371000     		du = 279.359357396673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41618510)-sin(0.41614126))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.914637857597-0.914655580096848)×R²
    abs(-0.87062997--0.87067791)×1.7722499847439e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.7722499847439e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.7722499847439e-05×40589641000000     		ar = 78025.6088356714m²