Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47372 / 55538
↖ ↑ ↗
← N 26.465656°
W 49.888916°		 ← 273.36 m → N 26.465656°
W 49.886170°		 →
↑
273.38 m
↓
↑
273.38 m
↓
N 26.463197°
W 49.888916°		 ← 273.37 m →
74 732 m²		 N 26.463197°
W 49.886170°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47372 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.361423492431641 y=0.423725128173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.361423492431641 × 217)
    floor (0.361423492431641 × 131072)
    floor (47372.5)     		tx = 47372
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423725128173828 × 217)
    floor (0.423725128173828 × 131072)
    floor (55538.5)     		ty = 55538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47372 / 55538 ti = "17/47372/55538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47372/55538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47372 ÷ 217
    47372 ÷ 131072     		x = 0.361419677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55538 ÷ 217
    55538 ÷ 131072     		y = 0.423721313476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.361419677734375 × 2 - 1) × π
    -0.27716064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.87072584
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423721313476562 × 2 - 1) × π
    0.152557373046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.479273122401321
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87072584} λ = -0.87072584}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.479273122401321))-π/2
    2×atan(1.61490014073602)-π/2
    2×1.01635457818096-π/2
    2.03270915636191-1.57079632675     		φ = 0.46191283
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87072584} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.888916°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46191283 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.465656°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47372 KachelY 55538 -0.87072584 0.46191283 -49.888916 26.465656
    Oben rechts KachelX + 1 47373 KachelY 55538 -0.87067791 0.46191283 -49.886170 26.465656
    Unten links KachelX 47372 KachelY + 1 55539 -0.87072584 0.46186992 -49.888916 26.463197
    Unten rechts KachelX + 1 47373 KachelY + 1 55539 -0.87067791 0.46186992 -49.886170 26.463197
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46191283-0.46186992) × R
    4.29100000000071e-05 × 6371000     		dl = 273.379610000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46191283-0.46186992) × R
    4.29100000000071e-05 × 6371000     		dr = 273.379610000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87072584--0.87067791) × cos(0.46191283) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.895201661494857 × 6371000     		do = 273.360596612976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87072584--0.87067791) × cos(0.46186992) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.895220783996644 × 6371000     		du = 273.366435898941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46191283)-sin(0.46186992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895201661494857-0.895220783996644)×R²
    abs(-0.87067791--0.87072584)×1.9122501787705e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.9122501787705e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.9122501787705e-05×40589641000000     		ar = 74732.0114737616m²