Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47371 / 55543
↖ ↑ ↗
← N 26.453361°
W 49.891663°		 ← 273.45 m → N 26.453361°
W 49.888916°		 →
↑
273.44 m
↓
↑
273.44 m
↓
N 26.450902°
W 49.891663°		 ← 273.45 m →
74 773 m²		 N 26.450902°
W 49.888916°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47371 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55543 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.361415863037109 y=0.423763275146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.361415863037109 × 217)
    floor (0.361415863037109 × 131072)
    floor (47371.5)     		tx = 47371
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423763275146484 × 217)
    floor (0.423763275146484 × 131072)
    floor (55543.5)     		ty = 55543
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47371 / 55543 ti = "17/47371/55543"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47371/55543.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47371 ÷ 217
    47371 ÷ 131072     		x = 0.361412048339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55543 ÷ 217
    55543 ÷ 131072     		y = 0.423759460449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.361412048339844 × 2 - 1) × π
    -0.277175903320312 × 3.1415926535     		Λ = -0.87077378
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423759460449219 × 2 - 1) × π
    0.152481079101562 × 3.1415926535     		Φ = 0.479033437903221
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87077378} λ = -0.87077378}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.479033437903221))-π/2
    2×atan(1.61451312058952)-π/2
    2×1.0162472894712-π/2
    2.03249457894241-1.57079632675     		φ = 0.46169825
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87077378} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.891663°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46169825 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.453361°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47371 KachelY 55543 -0.87077378 0.46169825 -49.891663 26.453361
    Oben rechts KachelX + 1 47372 KachelY 55543 -0.87072584 0.46169825 -49.888916 26.453361
    Unten links KachelX 47371 KachelY + 1 55544 -0.87077378 0.46165533 -49.891663 26.450902
    Unten rechts KachelX + 1 47372 KachelY + 1 55544 -0.87072584 0.46165533 -49.888916 26.450902
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46169825-0.46165533) × R
    4.29200000000018e-05 × 6371000     		dl = 273.443320000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46169825-0.46165533) × R
    4.29200000000018e-05 × 6371000     		dr = 273.443320000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87077378--0.87072584) × cos(0.46169825) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.895297270884105 × 6371000     		do = 273.446831480212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87077378--0.87072584) × cos(0.46165533) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.895316389596988 × 6371000     		du = 273.452670827242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46169825)-sin(0.46165533))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895297270884105-0.895316389596988)×R²
    abs(-0.87072584--0.87077378)×1.91187128835146e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.91187128835146e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.91187128835146e-05×40589641000000     		ar = 74773.0078202112m²