Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47370 / 55540
↖ ↑ ↗
← N 26.460738°
W 49.894409°		 ← 273.43 m → N 26.460738°
W 49.891663°		 →
↑
273.38 m
↓
↑
273.38 m
↓
N 26.458279°
W 49.894409°		 ← 273.44 m →
74 751 m²		 N 26.458279°
W 49.891663°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47370 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.361408233642578 y=0.423740386962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.361408233642578 × 217)
    floor (0.361408233642578 × 131072)
    floor (47370.5)     		tx = 47370
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423740386962891 × 217)
    floor (0.423740386962891 × 131072)
    floor (55540.5)     		ty = 55540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47370 / 55540 ti = "17/47370/55540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47370/55540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47370 ÷ 217
    47370 ÷ 131072     		x = 0.361404418945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55540 ÷ 217
    55540 ÷ 131072     		y = 0.423736572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.361404418945312 × 2 - 1) × π
    -0.277191162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.87082172
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423736572265625 × 2 - 1) × π
    0.15252685546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.479177248602081
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87082172} λ = -0.87082172}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.479177248602081))-π/2
    2×atan(1.6147453215458)-π/2
    2×1.01631166407202-π/2
    2.03262332814404-1.57079632675     		φ = 0.46182700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87082172} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.894409°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46182700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.460738°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47370 KachelY 55540 -0.87082172 0.46182700 -49.894409 26.460738
    Oben rechts KachelX + 1 47371 KachelY 55540 -0.87077378 0.46182700 -49.891663 26.460738
    Unten links KachelX 47370 KachelY + 1 55541 -0.87082172 0.46178409 -49.894409 26.458279
    Unten rechts KachelX + 1 47371 KachelY + 1 55541 -0.87077378 0.46178409 -49.891663 26.458279
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46182700-0.46178409) × R
    4.29100000000071e-05 × 6371000     		dl = 273.379610000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46182700-0.46178409) × R
    4.29100000000071e-05 × 6371000     		dr = 273.379610000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87082172--0.87077378) × cos(0.46182700) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.895239909305935 × 6371000     		do = 273.429311777119m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87082172--0.87077378) × cos(0.46178409) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.895259028510621 × 6371000     		du = 273.435151274358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46182700)-sin(0.46178409))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895239909305935-0.895259028510621)×R²
    abs(-0.87077378--0.87082172)×1.91192046854471e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.91192046854471e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.91192046854471e-05×40589641000000     		ar = 74750.7968274149m²