Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4737 / 2689
↖ ↑ ↗
← N 81.721606°
W127.957764°		 ← 175.90 m → N 81.721606°
W127.946777°		 →
↑
175.90 m
↓
↑
175.90 m
↓
N 81.720024°
W127.957764°		 ← 175.93 m →
30 944 m²		 N 81.720024°
W127.946777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4737 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2689 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144577026367188 y=0.0820770263671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144577026367188 × 215)
    floor (0.144577026367188 × 32768)
    floor (4737.5)     		tx = 4737
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0820770263671875 × 215)
    floor (0.0820770263671875 × 32768)
    floor (2689.5)     		ty = 2689
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4737 / 2689 ti = "15/4737/2689"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4737/2689.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4737 ÷ 215
    4737 ÷ 32768     		x = 0.144561767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2689 ÷ 215
    2689 ÷ 32768     		y = 0.082061767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.144561767578125 × 2 - 1) × π
    -0.71087646484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.23328428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.082061767578125 × 2 - 1) × π
    0.83587646484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.62598336118668
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23328428} λ = -2.23328428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62598336118668))-π/2
    2×atan(13.8181557452149)-π/2
    2×1.49855371008141-π/2
    2.99710742016283-1.57079632675     		φ = 1.42631109
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23328428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.957764°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42631109 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.721606°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4737 KachelY 2689 -2.23328428 1.42631109 -127.957764 81.721606
    Oben rechts KachelX + 1 4738 KachelY 2689 -2.23309253 1.42631109 -127.946777 81.721606
    Unten links KachelX 4737 KachelY + 1 2690 -2.23328428 1.42628348 -127.957764 81.720024
    Unten rechts KachelX + 1 4738 KachelY + 1 2690 -2.23309253 1.42628348 -127.946777 81.720024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42631109-1.42628348) × R
    2.76100000000667e-05 × 6371000     		dl = 175.903310000425m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42631109-1.42628348) × R
    2.76100000000667e-05 × 6371000     		dr = 175.903310000425m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23328428--2.23309253) × cos(1.42631109) × R
    0.000191749999999935 × 0.143983049357561 × 6371000     		do = 175.895344429824m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23328428--2.23309253) × cos(1.42628348) × R
    0.000191749999999935 × 0.144010371610734 × 6371000     		du = 175.928722366698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42631109)-sin(1.42628348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143983049357561-0.144010371610734)×R²
    abs(-2.23309253--2.23328428)×2.73222531728123e-05×R²
    0.000191749999999935×2.73222531728123e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.73222531728123e-05×40589641000000     		ar = 30943.508945042m²