Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47369 / 55542
↖ ↑ ↗
← N 26.455820°
W 49.897156°		 ← 273.44 m → N 26.455820°
W 49.894409°		 →
↑
273.44 m
↓
↑
273.44 m
↓
N 26.453361°
W 49.897156°		 ← 273.45 m →
74 771 m²		 N 26.453361°
W 49.894409°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47369 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.361400604248047 y=0.423755645751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.361400604248047 × 217)
    floor (0.361400604248047 × 131072)
    floor (47369.5)     		tx = 47369
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423755645751953 × 217)
    floor (0.423755645751953 × 131072)
    floor (55542.5)     		ty = 55542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47369 / 55542 ti = "17/47369/55542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47369/55542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47369 ÷ 217
    47369 ÷ 131072     		x = 0.361396789550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55542 ÷ 217
    55542 ÷ 131072     		y = 0.423751831054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.361396789550781 × 2 - 1) × π
    -0.277206420898438 × 3.1415926535     		Λ = -0.87086966
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423751831054688 × 2 - 1) × π
    0.152496337890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.479081374802841
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87086966} λ = -0.87086966}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.479081374802841))-π/2
    2×atan(1.61459051719798)-π/2
    2×1.01626874812976-π/2
    2.03253749625951-1.57079632675     		φ = 0.46174117
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87086966} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.897156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46174117 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.455820°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47369 KachelY 55542 -0.87086966 0.46174117 -49.897156 26.455820
    Oben rechts KachelX + 1 47370 KachelY 55542 -0.87082172 0.46174117 -49.894409 26.455820
    Unten links KachelX 47369 KachelY + 1 55543 -0.87086966 0.46169825 -49.897156 26.453361
    Unten rechts KachelX + 1 47370 KachelY + 1 55543 -0.87082172 0.46169825 -49.894409 26.453361
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46174117-0.46169825) × R
    4.29200000000018e-05 × 6371000     		dl = 273.443320000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46174117-0.46169825) × R
    4.29200000000018e-05 × 6371000     		dr = 273.443320000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87086966--0.87082172) × cos(0.46174117) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.89527815052197 × 6371000     		do = 273.440991628825m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87086966--0.87082172) × cos(0.46169825) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.895297270884105 × 6371000     		du = 273.446831479579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46174117)-sin(0.46169825))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.89527815052197-0.895297270884105)×R²
    abs(-0.87082172--0.87086966)×1.91203621342506e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.91203621342506e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.91203621342506e-05×40589641000000     		ar = 74771.4110205639m²