Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47367 / 55534
↖ ↑ ↗
← N 26.475490°
W 49.902649°		 ← 273.39 m → N 26.475490°
W 49.899902°		 →
↑
273.38 m
↓
↑
273.38 m
↓
N 26.473032°
W 49.902649°		 ← 273.40 m →
74 741 m²		 N 26.473032°
W 49.899902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47367 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55534 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.361385345458984 y=0.423694610595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.361385345458984 × 217)
    floor (0.361385345458984 × 131072)
    floor (47367.5)     		tx = 47367
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423694610595703 × 217)
    floor (0.423694610595703 × 131072)
    floor (55534.5)     		ty = 55534
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47367 / 55534 ti = "17/47367/55534"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47367/55534.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47367 ÷ 217
    47367 ÷ 131072     		x = 0.361381530761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55534 ÷ 217
    55534 ÷ 131072     		y = 0.423690795898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.361381530761719 × 2 - 1) × π
    -0.277236938476562 × 3.1415926535     		Λ = -0.87096553
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423690795898438 × 2 - 1) × π
    0.152618408203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.479464869999802
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87096553} λ = -0.87096553}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.479464869999802))-π/2
    2×atan(1.61520982364932)-π/2
    2×1.01644040089791-π/2
    2.03288080179581-1.57079632675     		φ = 0.46208448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87096553} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.902649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46208448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.475490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47367 KachelY 55534 -0.87096553 0.46208448 -49.902649 26.475490
    Oben rechts KachelX + 1 47368 KachelY 55534 -0.87091759 0.46208448 -49.899902 26.475490
    Unten links KachelX 47367 KachelY + 1 55535 -0.87096553 0.46204157 -49.902649 26.473032
    Unten rechts KachelX + 1 47368 KachelY + 1 55535 -0.87091759 0.46204157 -49.899902 26.473032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46208448-0.46204157) × R
    4.29100000000071e-05 × 6371000     		dl = 273.379610000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46208448-0.46204157) × R
    4.29100000000071e-05 × 6371000     		dr = 273.379610000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87096553--0.87091759) × cos(0.46208448) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.895125150546845 × 6371000     		do = 273.394261498202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87096553--0.87091759) × cos(0.46204157) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.895144279642031 × 6371000     		du = 273.400104016255m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46208448)-sin(0.46204157))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895125150546845-0.895144279642031)×R²
    abs(-0.87091759--0.87096553)×1.91290951856438e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.91290951856438e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.91290951856438e-05×40589641000000     		ar = 74741.2152087741m²