Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47365 / 55537
↖ ↑ ↗
← N 26.468114°
W 49.908142°		 ← 273.35 m → N 26.468114°
W 49.905396°		 →
↑
273.38 m
↓
↑
273.38 m
↓
N 26.465656°
W 49.908142°		 ← 273.36 m →
74 730 m²		 N 26.465656°
W 49.905396°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47365 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55537 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.361370086669922 y=0.423717498779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.361370086669922 × 217)
    floor (0.361370086669922 × 131072)
    floor (47365.5)     		tx = 47365
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423717498779297 × 217)
    floor (0.423717498779297 × 131072)
    floor (55537.5)     		ty = 55537
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47365 / 55537 ti = "17/47365/55537"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47365/55537.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47365 ÷ 217
    47365 ÷ 131072     		x = 0.361366271972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55537 ÷ 217
    55537 ÷ 131072     		y = 0.423713684082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.361366271972656 × 2 - 1) × π
    -0.277267456054688 × 3.1415926535     		Λ = -0.87106140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423713684082031 × 2 - 1) × π
    0.152572631835938 × 3.1415926535     		Φ = 0.479321059300941
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87106140} λ = -0.87106140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.479321059300941))-π/2
    2×atan(1.61497755589747)-π/2
    2×1.01637603454785-π/2
    2.03275206909571-1.57079632675     		φ = 0.46195574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87106140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.908142°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46195574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.468114°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47365 KachelY 55537 -0.87106140 0.46195574 -49.908142 26.468114
    Oben rechts KachelX + 1 47366 KachelY 55537 -0.87101347 0.46195574 -49.905396 26.468114
    Unten links KachelX 47365 KachelY + 1 55538 -0.87106140 0.46191283 -49.908142 26.465656
    Unten rechts KachelX + 1 47366 KachelY + 1 55538 -0.87101347 0.46191283 -49.905396 26.465656
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46195574-0.46191283) × R
    4.29100000000071e-05 × 6371000     		dl = 273.379610000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46195574-0.46191283) × R
    4.29100000000071e-05 × 6371000     		dr = 273.379610000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87106140--0.87101347) × cos(0.46195574) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.895182537344762 × 6371000     		do = 273.354756824315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87106140--0.87101347) × cos(0.46191283) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.895201661494857 × 6371000     		du = 273.36059661361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46195574)-sin(0.46191283))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895182537344762-0.895201661494857)×R²
    abs(-0.87101347--0.87106140)×1.91241500940853e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.91241500940853e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.91241500940853e-05×40589641000000     		ar = 74730.4150633768m²