Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47362 / 55554
↖ ↑ ↗
← N 26.426309°
W 49.916382°		 ← 273.45 m → N 26.426309°
W 49.913635°		 →
↑
273.51 m
↓
↑
273.51 m
↓
N 26.423849°
W 49.916382°		 ← 273.46 m →
74 792 m²		 N 26.423849°
W 49.913635°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47362 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55554 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.361347198486328 y=0.423847198486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.361347198486328 × 217)
    floor (0.361347198486328 × 131072)
    floor (47362.5)     		tx = 47362
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423847198486328 × 217)
    floor (0.423847198486328 × 131072)
    floor (55554.5)     		ty = 55554
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47362 / 55554 ti = "17/47362/55554"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47362/55554.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47362 ÷ 217
    47362 ÷ 131072     		x = 0.361343383789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55554 ÷ 217
    55554 ÷ 131072     		y = 0.423843383789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.361343383789062 × 2 - 1) × π
    -0.277313232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.87120521
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423843383789062 × 2 - 1) × π
    0.152313232421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.4785061320074
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87120521} λ = -0.87120521}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.4785061320074))-π/2
    2×atan(1.61366200272161)-π/2
    2×1.01601121398969-π/2
    2.03202242797939-1.57079632675     		φ = 0.46122610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87120521} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.916382°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46122610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.426309°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47362 KachelY 55554 -0.87120521 0.46122610 -49.916382 26.426309
    Oben rechts KachelX + 1 47363 KachelY 55554 -0.87115728 0.46122610 -49.913635 26.426309
    Unten links KachelX 47362 KachelY + 1 55555 -0.87120521 0.46118317 -49.916382 26.423849
    Unten rechts KachelX + 1 47363 KachelY + 1 55555 -0.87115728 0.46118317 -49.913635 26.423849
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46122610-0.46118317) × R
    4.29300000000521e-05 × 6371000     		dl = 273.507030000332m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46122610-0.46118317) × R
    4.29300000000521e-05 × 6371000     		dr = 273.507030000332m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87120521--0.87115728) × cos(0.46122610) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.895507499360679 × 6371000     		do = 273.453987884535m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87120521--0.87115728) × cos(0.46118317) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.895526604378408 × 6371000     		du = 273.459821831531m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46122610)-sin(0.46118317))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895507499360679-0.895526604378408)×R²
    abs(-0.87115728--0.87120521)×1.91050177283936e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.91050177283936e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.91050177283936e-05×40589641000000     		ar = 74792.3858922999m²