Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 47361 / 55545
↖ ↑ ↗
← N 26.448443°
W 49.919128°		 ← 273.46 m → N 26.448443°
W 49.916382°		 →
↑
273.44 m
↓
↑
273.44 m
↓
N 26.445984°
W 49.919128°		 ← 273.46 m →
74 776 m²		 N 26.445984°
W 49.916382°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47361 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.361339569091797 y=0.423778533935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.361339569091797 × 217)
    floor (0.361339569091797 × 131072)
    floor (47361.5)     		tx = 47361
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423778533935547 × 217)
    floor (0.423778533935547 × 131072)
    floor (55545.5)     		ty = 55545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47361 / 55545 ti = "17/47361/55545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47361/55545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47361 ÷ 217
    47361 ÷ 131072     		x = 0.361335754394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55545 ÷ 217
    55545 ÷ 131072     		y = 0.423774719238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.361335754394531 × 2 - 1) × π
    -0.277328491210938 × 3.1415926535     		Λ = -0.87125315
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423774719238281 × 2 - 1) × π
    0.152450561523438 × 3.1415926535     		Φ = 0.478937564103981
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87125315} λ = -0.87125315}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.478937564103981))-π/2
    2×atan(1.61435833850262)-π/2
    2×1.0162043707794-π/2
    2.0324087415588-1.57079632675     		φ = 0.46161241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87125315} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.919128°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46161241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.448443°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47361 KachelY 55545 -0.87125315 0.46161241 -49.919128 26.448443
    Oben rechts KachelX + 1 47362 KachelY 55545 -0.87120521 0.46161241 -49.916382 26.448443
    Unten links KachelX 47361 KachelY + 1 55546 -0.87125315 0.46156949 -49.919128 26.445984
    Unten rechts KachelX + 1 47362 KachelY + 1 55546 -0.87120521 0.46156949 -49.916382 26.445984
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46161241-0.46156949) × R
    4.29199999999463e-05 × 6371000     		dl = 273.443319999658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46161241-0.46156949) × R
    4.29199999999463e-05 × 6371000     		dr = 273.443319999658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87125315--0.87120521) × cos(0.46161241) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.895335506660586 × 6371000     		do = 273.458509670538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87125315--0.87120521) × cos(0.46156949) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.895354622074862 × 6371000     		du = 273.464348010089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46161241)-sin(0.46156949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895335506660586-0.895354622074862)×R²
    abs(-0.87120521--0.87125315)×1.91154142763494e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.91154142763494e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.91154142763494e-05×40589641000000     		ar = 74776.2010054531m²