Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47360 / 56064
↖ ↑ ↗
← N 25.165173°
W 49.921875°		 ← 276.44 m → N 25.165173°
W 49.919128°		 →
↑
276.44 m
↓
↑
276.44 m
↓
N 25.162687°
W 49.921875°		 ← 276.44 m →
76 418 m²		 N 25.162687°
W 49.919128°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56064 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.361331939697266 y=0.427738189697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.361331939697266 × 217)
    floor (0.361331939697266 × 131072)
    floor (47360.5)     		tx = 47360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427738189697266 × 217)
    floor (0.427738189697266 × 131072)
    floor (56064.5)     		ty = 56064
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47360 / 56064 ti = "17/47360/56064"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47360/56064.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47360 ÷ 217
    47360 ÷ 131072     		x = 0.361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56064 ÷ 217
    56064 ÷ 131072     		y = 0.427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.361328125 × 2 - 1) × π
    -0.27734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.87130109
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427734375 × 2 - 1) × π
    0.14453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.454058313201172
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87130109} λ = -0.87130109}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.454058313201172))-π/2
    2×atan(1.57468982000202)-π/2
    2×1.00500572945076-π/2
    2.01001145890153-1.57079632675     		φ = 0.43921513
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87130109} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.921875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43921513 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.165173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47360 KachelY 56064 -0.87130109 0.43921513 -49.921875 25.165173
    Oben rechts KachelX + 1 47361 KachelY 56064 -0.87125315 0.43921513 -49.919128 25.165173
    Unten links KachelX 47360 KachelY + 1 56065 -0.87130109 0.43917174 -49.921875 25.162687
    Unten rechts KachelX + 1 47361 KachelY + 1 56065 -0.87125315 0.43917174 -49.919128 25.162687
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43921513-0.43917174) × R
    4.3390000000032e-05 × 6371000     		dl = 276.437690000204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43921513-0.43917174) × R
    4.3390000000032e-05 × 6371000     		dr = 276.437690000204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87130109--0.87125315) × cos(0.43921513) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.905085691620626 × 6371000     		do = 276.43646712646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87130109--0.87125315) × cos(0.43917174) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.905104141464543 × 6371000     		du = 276.442102183691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43921513)-sin(0.43917174))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905085691620626-0.905104141464543)×R²
    abs(-0.87125315--0.87130109)×1.84498439166347e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.84498439166347e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.84498439166347e-05×40589641000000     		ar = 76418.2372873198m²