Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4736 / 2685
↖ ↑ ↗
← N 81.727931°
W127.968750°		 ← 175.76 m → N 81.727931°
W127.957764°		 →
↑
175.78 m
↓
↑
175.78 m
↓
N 81.726350°
W127.968750°		 ← 175.80 m →
30 898 m²		 N 81.726350°
W127.957764°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2685 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144546508789062 y=0.0819549560546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144546508789062 × 215)
    floor (0.144546508789062 × 32768)
    floor (4736.5)     		tx = 4736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0819549560546875 × 215)
    floor (0.0819549560546875 × 32768)
    floor (2685.5)     		ty = 2685
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4736 / 2685 ti = "15/4736/2685"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4736/2685.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4736 ÷ 215
    4736 ÷ 32768     		x = 0.14453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2685 ÷ 215
    2685 ÷ 32768     		y = 0.081939697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14453125 × 2 - 1) × π
    -0.7109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.23347603
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.081939697265625 × 2 - 1) × π
    0.83612060546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.6267503515806
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23347603} λ = -2.23347603}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.6267503515806))-π/2
    2×atan(13.8287582034052)-π/2
    2×1.49860890593846-π/2
    2.99721781187692-1.57079632675     		φ = 1.42642149
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23347603} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.968750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42642149 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.727931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4736 KachelY 2685 -2.23347603 1.42642149 -127.968750 81.727931
    Oben rechts KachelX + 1 4737 KachelY 2685 -2.23328428 1.42642149 -127.957764 81.727931
    Unten links KachelX 4736 KachelY + 1 2686 -2.23347603 1.42639390 -127.968750 81.726350
    Unten rechts KachelX + 1 4737 KachelY + 1 2686 -2.23328428 1.42639390 -127.957764 81.726350
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42642149-1.42639390) × R
    2.75899999999663e-05 × 6371000     		dl = 175.775889999785m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42642149-1.42639390) × R
    2.75899999999663e-05 × 6371000     		dr = 175.775889999785m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23347603--2.23328428) × cos(1.42642149) × R
    0.000191749999999935 × 0.14387379883132 × 6371000     		do = 175.761879698885m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23347603--2.23328428) × cos(1.42639390) × R
    0.000191749999999935 × 0.143901101731407 × 6371000     		du = 175.79523399327m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42642149)-sin(1.42639390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14387379883132-0.143901101731407)×R²
    abs(-2.23328428--2.23347603)×2.73029000874558e-05×R²
    0.000191749999999935×2.73029000874558e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.73029000874558e-05×40589641000000     		ar = 30897.6322742468m²