Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47358 / 55533
↖ ↑ ↗
← N 26.477948°
W 49.927368°		 ← 273.39 m → N 26.477948°
W 49.924621°		 →
↑
273.32 m
↓
↑
273.32 m
↓
N 26.475490°
W 49.927368°		 ← 273.39 m →
74 722 m²		 N 26.475490°
W 49.924621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47358 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55533 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.361316680908203 y=0.423686981201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.361316680908203 × 217)
    floor (0.361316680908203 × 131072)
    floor (47358.5)     		tx = 47358
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423686981201172 × 217)
    floor (0.423686981201172 × 131072)
    floor (55533.5)     		ty = 55533
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47358 / 55533 ti = "17/47358/55533"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47358/55533.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47358 ÷ 217
    47358 ÷ 131072     		x = 0.361312866210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55533 ÷ 217
    55533 ÷ 131072     		y = 0.423683166503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.361312866210938 × 2 - 1) × π
    -0.277374267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.87139696
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423683166503906 × 2 - 1) × π
    0.152633666992188 × 3.1415926535     		Φ = 0.479512806899422
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87139696} λ = -0.87139696}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.479512806899422))-π/2
    2×atan(1.61528725365636)-π/2
    2×1.01646185543095-π/2
    2.03292371086189-1.57079632675     		φ = 0.46212738
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87139696} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.927368°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46212738 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.477948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47358 KachelY 55533 -0.87139696 0.46212738 -49.927368 26.477948
    Oben rechts KachelX + 1 47359 KachelY 55533 -0.87134902 0.46212738 -49.924621 26.477948
    Unten links KachelX 47358 KachelY + 1 55534 -0.87139696 0.46208448 -49.927368 26.475490
    Unten rechts KachelX + 1 47359 KachelY + 1 55534 -0.87134902 0.46208448 -49.924621 26.475490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46212738-0.46208448) × R
    4.28999999999569e-05 × 6371000     		dl = 273.315899999725m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46212738-0.46208448) × R
    4.28999999999569e-05 × 6371000     		dr = 273.315899999725m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87139696--0.87134902) × cos(0.46212738) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.895106024262028 × 6371000     		do = 273.388419838509m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87139696--0.87134902) × cos(0.46208448) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.895125150546845 × 6371000     		du = 273.394261498202m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46212738)-sin(0.46208448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895106024262028-0.895125150546845)×R²
    abs(-0.87134902--0.87139696)×1.91262848175944e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.91262848175944e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.91262848175944e-05×40589641000000     		ar = 74722.2003383842m²