Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47357 / 55529
↖ ↑ ↗
← N 26.487782°
W 49.930115°		 ← 273.37 m → N 26.487782°
W 49.927368°		 →
↑
273.32 m
↓
↑
273.32 m
↓
N 26.485324°
W 49.930115°		 ← 273.37 m →
74 716 m²		 N 26.485324°
W 49.927368°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47357 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.361309051513672 y=0.423656463623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.361309051513672 × 217)
    floor (0.361309051513672 × 131072)
    floor (47357.5)     		tx = 47357
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423656463623047 × 217)
    floor (0.423656463623047 × 131072)
    floor (55529.5)     		ty = 55529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47357 / 55529 ti = "17/47357/55529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47357/55529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47357 ÷ 217
    47357 ÷ 131072     		x = 0.361305236816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55529 ÷ 217
    55529 ÷ 131072     		y = 0.423652648925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.361305236816406 × 2 - 1) × π
    -0.277389526367188 × 3.1415926535     		Λ = -0.87144490
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423652648925781 × 2 - 1) × π
    0.152694702148438 × 3.1415926535     		Φ = 0.479704554497902
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87144490} λ = -0.87144490}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.479704554497902))-π/2
    2×atan(1.61559701080475)-π/2
    2×1.01654766897741-π/2
    2.03309533795482-1.57079632675     		φ = 0.46229901
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87144490} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.930115°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46229901 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.487782°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47357 KachelY 55529 -0.87144490 0.46229901 -49.930115 26.487782
    Oben rechts KachelX + 1 47358 KachelY 55529 -0.87139696 0.46229901 -49.927368 26.487782
    Unten links KachelX 47357 KachelY + 1 55530 -0.87144490 0.46225611 -49.930115 26.485324
    Unten rechts KachelX + 1 47358 KachelY + 1 55530 -0.87139696 0.46225611 -49.927368 26.485324
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46229901-0.46225611) × R
    4.29000000000124e-05 × 6371000     		dl = 273.315900000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46229901-0.46225611) × R
    4.29000000000124e-05 × 6371000     		dr = 273.315900000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87144490--0.87139696) × cos(0.46229901) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.89502948926928 × 6371000     		do = 273.365044081713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87144490--0.87139696) × cos(0.46225611) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.895048622144487 × 6371000     		du = 273.370887754281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46229901)-sin(0.46225611))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.89502948926928-0.895048622144487)×R²
    abs(-0.87139696--0.87144490)×1.91328752064956e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.91328752064956e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.91328752064956e-05×40589641000000     		ar = 74715.81164758m²