Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47354 / 55546
↖ ↑ ↗
← N 26.445984°
W 49.938355°		 ← 273.46 m → N 26.445984°
W 49.935608°		 →
↑
273.44 m
↓
↑
273.44 m
↓
N 26.443525°
W 49.938355°		 ← 273.47 m →
74 778 m²		 N 26.443525°
W 49.935608°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47354 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55546 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.361286163330078 y=0.423786163330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.361286163330078 × 217)
    floor (0.361286163330078 × 131072)
    floor (47354.5)     		tx = 47354
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423786163330078 × 217)
    floor (0.423786163330078 × 131072)
    floor (55546.5)     		ty = 55546
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47354 / 55546 ti = "17/47354/55546"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47354/55546.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47354 ÷ 217
    47354 ÷ 131072     		x = 0.361282348632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55546 ÷ 217
    55546 ÷ 131072     		y = 0.423782348632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.361282348632812 × 2 - 1) × π
    -0.277435302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.87158871
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423782348632812 × 2 - 1) × π
    0.152435302734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.478889627204361
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87158871} λ = -0.87158871}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.478889627204361))-π/2
    2×atan(1.61428095302382)-π/2
    2×1.01618291074621-π/2
    2.03236582149242-1.57079632675     		φ = 0.46156949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87158871} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.938355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46156949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.445984°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47354 KachelY 55546 -0.87158871 0.46156949 -49.938355 26.445984
    Oben rechts KachelX + 1 47355 KachelY 55546 -0.87154077 0.46156949 -49.935608 26.445984
    Unten links KachelX 47354 KachelY + 1 55547 -0.87158871 0.46152657 -49.938355 26.443525
    Unten rechts KachelX + 1 47355 KachelY + 1 55547 -0.87154077 0.46152657 -49.935608 26.443525
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46156949-0.46152657) × R
    4.29200000000018e-05 × 6371000     		dl = 273.443320000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46156949-0.46152657) × R
    4.29200000000018e-05 × 6371000     		dr = 273.443320000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87158871--0.87154077) × cos(0.46156949) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.895354622074862 × 6371000     		do = 273.464348010089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87158871--0.87154077) × cos(0.46152657) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.895373735839782 × 6371000     		du = 273.470185845884m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46156949)-sin(0.46152657))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895354622074862-0.895373735839782)×R²
    abs(-0.87154077--0.87158871)×1.91137649200313e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.91137649200313e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.91137649200313e-05×40589641000000     		ar = 74777.7973915449m²