Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47352 / 60152
↖ ↑ ↗
← N 14.626109°
W 49.943848°		 ← 295.47 m → N 14.626109°
W 49.941101°		 →
↑
295.55 m
↓
↑
295.55 m
↓
N 14.623451°
W 49.943848°		 ← 295.47 m →
87 326 m²		 N 14.623451°
W 49.941101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.361270904541016 y=0.458927154541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.361270904541016 × 217)
    floor (0.361270904541016 × 131072)
    floor (47352.5)     		tx = 47352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.458927154541016 × 217)
    floor (0.458927154541016 × 131072)
    floor (60152.5)     		ty = 60152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47352 / 60152 ti = "17/47352/60152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47352/60152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47352 ÷ 217
    47352 ÷ 131072     		x = 0.36126708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60152 ÷ 217
    60152 ÷ 131072     		y = 0.45892333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36126708984375 × 2 - 1) × π
    -0.2774658203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.87168458
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45892333984375 × 2 - 1) × π
    0.0821533203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.258092267554382
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87168458} λ = -0.87168458}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.258092267554382))-π/2
    2×atan(1.29445824961129)-π/2
    2×0.913035041041536-π/2
    1.82607008208307-1.57079632675     		φ = 0.25527376
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87168458} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.943848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25527376 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.626109°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47352 KachelY 60152 -0.87168458 0.25527376 -49.943848 14.626109
    Oben rechts KachelX + 1 47353 KachelY 60152 -0.87163665 0.25527376 -49.941101 14.626109
    Unten links KachelX 47352 KachelY + 1 60153 -0.87168458 0.25522737 -49.943848 14.623451
    Unten rechts KachelX + 1 47353 KachelY + 1 60153 -0.87163665 0.25522737 -49.941101 14.623451
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25527376-0.25522737) × R
    4.63900000000073e-05 × 6371000     		dl = 295.550690000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25527376-0.25522737) × R
    4.63900000000073e-05 × 6371000     		dr = 295.550690000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87168458--0.87163665) × cos(0.25527376) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.967594204725831 × 6371000     		do = 295.466530571496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87168458--0.87163665) × cos(0.25522737) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.967605917637807 × 6371000     		du = 295.470107250075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25527376)-sin(0.25522737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.967594204725831-0.967605917637807)×R²
    abs(-0.87163665--0.87168458)×1.17129119758808e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.17129119758808e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.17129119758808e-05×40589641000000     		ar = 87325.8655429164m²