Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47350 / 55526
↖ ↑ ↗
← N 26.495157°
W 49.949341°		 ← 273.35 m → N 26.495157°
W 49.946594°		 →
↑
273.32 m
↓
↑
273.32 m
↓
N 26.492699°
W 49.949341°		 ← 273.35 m →
74 711 m²		 N 26.492699°
W 49.946594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47350 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55526 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.361255645751953 y=0.423633575439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.361255645751953 × 217)
    floor (0.361255645751953 × 131072)
    floor (47350.5)     		tx = 47350
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423633575439453 × 217)
    floor (0.423633575439453 × 131072)
    floor (55526.5)     		ty = 55526
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47350 / 55526 ti = "17/47350/55526"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47350/55526.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47350 ÷ 217
    47350 ÷ 131072     		x = 0.361251831054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55526 ÷ 217
    55526 ÷ 131072     		y = 0.423629760742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.361251831054688 × 2 - 1) × π
    -0.277496337890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.87178046
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423629760742188 × 2 - 1) × π
    0.152740478515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.479848365196762
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87178046} λ = -0.87178046}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.479848365196762))-π/2
    2×atan(1.61582936764725)-π/2
    2×1.01661202432146-π/2
    2.03322404864291-1.57079632675     		φ = 0.46242772
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87178046} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.949341°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46242772 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.495157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47350 KachelY 55526 -0.87178046 0.46242772 -49.949341 26.495157
    Oben rechts KachelX + 1 47351 KachelY 55526 -0.87173252 0.46242772 -49.946594 26.495157
    Unten links KachelX 47350 KachelY + 1 55527 -0.87178046 0.46238482 -49.949341 26.492699
    Unten rechts KachelX + 1 47351 KachelY + 1 55527 -0.87173252 0.46238482 -49.946594 26.492699
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46242772-0.46238482) × R
    4.29000000000124e-05 × 6371000     		dl = 273.315900000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46242772-0.46238482) × R
    4.29000000000124e-05 × 6371000     		dr = 273.315900000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87178046--0.87173252) × cos(0.46242772) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.894972076299253 × 6371000     		do = 273.347508682856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87178046--0.87173252) × cos(0.46238482) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.894991214116401 × 6371000     		du = 273.353353864821m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46242772)-sin(0.46238482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894972076299253-0.894991214116401)×R²
    abs(-0.87173252--0.87178046)×1.91378171484624e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.91378171484624e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.91378171484624e-05×40589641000000     		ar = 74711.0191504886m²