Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4735 / 2684
↖ ↑ ↗
← N 81.729511°
W127.979736°		 ← 175.72 m → N 81.729511°
W127.968750°		 →
↑
175.71 m
↓
↑
175.71 m
↓
N 81.727931°
W127.979736°		 ← 175.75 m →
30 879 m²		 N 81.727931°
W127.968750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4735 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2684 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144515991210938 y=0.0819244384765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144515991210938 × 215)
    floor (0.144515991210938 × 32768)
    floor (4735.5)     		tx = 4735
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0819244384765625 × 215)
    floor (0.0819244384765625 × 32768)
    floor (2684.5)     		ty = 2684
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4735 / 2684 ti = "15/4735/2684"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4735/2684.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4735 ÷ 215
    4735 ÷ 32768     		x = 0.144500732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2684 ÷ 215
    2684 ÷ 32768     		y = 0.0819091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.144500732421875 × 2 - 1) × π
    -0.71099853515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.23366777
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0819091796875 × 2 - 1) × π
    0.836181640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.62694209917908
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23366777} λ = -2.23366777}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62694209917908))-π/2
    2×atan(13.8314100888189)-π/2
    2×1.49862269835802-π/2
    2.99724539671603-1.57079632675     		φ = 1.42644907
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23366777} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.979736°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42644907 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.729511°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4735 KachelY 2684 -2.23366777 1.42644907 -127.979736 81.729511
    Oben rechts KachelX + 1 4736 KachelY 2684 -2.23347603 1.42644907 -127.968750 81.729511
    Unten links KachelX 4735 KachelY + 1 2685 -2.23366777 1.42642149 -127.979736 81.727931
    Unten rechts KachelX + 1 4736 KachelY + 1 2685 -2.23347603 1.42642149 -127.968750 81.727931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42644907-1.42642149) × R
    2.7580000000027e-05 × 6371000     		dl = 175.712180000172m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42644907-1.42642149) × R
    2.7580000000027e-05 × 6371000     		dr = 175.712180000172m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23366777--2.23347603) × cos(1.42644907) × R
    0.000191739999999996 × 0.143846505717714 × 6371000     		do = 175.719372899226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23366777--2.23347603) × cos(1.42642149) × R
    0.000191739999999996 × 0.14387379883132 × 6371000     		du = 175.752713499217m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42644907)-sin(1.42642149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143846505717714-0.14387379883132)×R²
    abs(-2.23347603--2.23366777)×2.72931136053034e-05×R²
    0.000191739999999996×2.72931136053034e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.72931136053034e-05×40589641000000     		ar = 30878.9632566283m²