Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 47348 / 55548
↖ ↑ ↗
← N 26.441065°
W 49.954834°		 ← 273.48 m → N 26.441065°
W 49.952087°		 →
↑
273.44 m
↓
↑
273.44 m
↓
N 26.438606°
W 49.954834°		 ← 273.48 m →
74 781 m²		 N 26.438606°
W 49.952087°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47348 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.361240386962891 y=0.423801422119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.361240386962891 × 217)
    floor (0.361240386962891 × 131072)
    floor (47348.5)     		tx = 47348
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423801422119141 × 217)
    floor (0.423801422119141 × 131072)
    floor (55548.5)     		ty = 55548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47348 / 55548 ti = "17/47348/55548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47348/55548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47348 ÷ 217
    47348 ÷ 131072     		x = 0.361236572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55548 ÷ 217
    55548 ÷ 131072     		y = 0.423797607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.361236572265625 × 2 - 1) × π
    -0.27752685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.87187633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423797607421875 × 2 - 1) × π
    0.15240478515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.478793753405121
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87187633} λ = -0.87187633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.478793753405121))-π/2
    2×atan(1.61412619319464)-π/2
    2×1.0161399893054-π/2
    2.03227997861081-1.57079632675     		φ = 0.46148365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87187633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.954834°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46148365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.441065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47348 KachelY 55548 -0.87187633 0.46148365 -49.954834 26.441065
    Oben rechts KachelX + 1 47349 KachelY 55548 -0.87182839 0.46148365 -49.952087 26.441065
    Unten links KachelX 47348 KachelY + 1 55549 -0.87187633 0.46144073 -49.954834 26.438606
    Unten rechts KachelX + 1 47349 KachelY + 1 55549 -0.87182839 0.46144073 -49.952087 26.438606
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46148365-0.46144073) × R
    4.29200000000018e-05 × 6371000     		dl = 273.443320000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46148365-0.46144073) × R
    4.29200000000018e-05 × 6371000     		dr = 273.443320000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87187633--0.87182839) × cos(0.46148365) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.895392847955311 × 6371000     		do = 273.476023177279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87187633--0.87182839) × cos(0.46144073) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.895411958421412 × 6371000     		du = 273.48186000553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46148365)-sin(0.46144073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895392847955311-0.895411958421412)×R²
    abs(-0.87182839--0.87187633)×1.91104661015906e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.91104661015906e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.91104661015906e-05×40589641000000     		ar = 74780.9897503891m²