Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47348 / 55175
↖ ↑ ↗
← N 27.354693°
W 49.954834°		 ← 271.27 m → N 27.354693°
W 49.952087°		 →
↑
271.28 m
↓
↑
271.28 m
↓
N 27.352253°
W 49.954834°		 ← 271.28 m →
73 591 m²		 N 27.352253°
W 49.952087°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47348 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.361240386962891 y=0.420955657958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.361240386962891 × 217)
    floor (0.361240386962891 × 131072)
    floor (47348.5)     		tx = 47348
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420955657958984 × 217)
    floor (0.420955657958984 × 131072)
    floor (55175.5)     		ty = 55175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47348 / 55175 ti = "17/47348/55175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47348/55175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47348 ÷ 217
    47348 ÷ 131072     		x = 0.361236572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55175 ÷ 217
    55175 ÷ 131072     		y = 0.420951843261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.361236572265625 × 2 - 1) × π
    -0.27752685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.87187633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420951843261719 × 2 - 1) × π
    0.158096313476562 × 3.1415926535     		Φ = 0.496674216963402
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87187633} λ = -0.87187633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.496674216963402))-π/2
    2×atan(1.64324708948122)-π/2
    2×1.02411288770357-π/2
    2.04822577540713-1.57079632675     		φ = 0.47742945
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87187633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.954834°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47742945 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.354693°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47348 KachelY 55175 -0.87187633 0.47742945 -49.954834 27.354693
    Oben rechts KachelX + 1 47349 KachelY 55175 -0.87182839 0.47742945 -49.952087 27.354693
    Unten links KachelX 47348 KachelY + 1 55176 -0.87187633 0.47738687 -49.954834 27.352253
    Unten rechts KachelX + 1 47349 KachelY + 1 55176 -0.87182839 0.47738687 -49.952087 27.352253
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47742945-0.47738687) × R
    4.25799999999588e-05 × 6371000     		dl = 271.277179999737m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47742945-0.47738687) × R
    4.25799999999588e-05 × 6371000     		dr = 271.277179999737m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87187633--0.87182839) × cos(0.47742945) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.888179017423044 × 6371000     		do = 271.272733648728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87187633--0.87182839) × cos(0.47738687) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.888198582025159 × 6371000     		du = 271.278709181807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47742945)-sin(0.47738687))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888179017423044-0.888198582025159)×R²
    abs(-0.87182839--0.87187633)×1.95646021147189e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.95646021147189e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.95646021147189e-05×40589641000000     		ar = 73590.9127190766m²