Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4734 / 3526
↖ ↑ ↗
← N 24.287027°
E 28.037109°		 ← 4 454.02 m → N 24.287027°
E 28.081055°		 →
↑
4 454.67 m
↓
↑
4 454.67 m
↓
N 24.246965°
E 28.037109°		 ← 4 455.43 m →
19 844 309 m²		 N 24.246965°
E 28.081055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4734 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3526 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57794189453125 y=0.43048095703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57794189453125 × 213)
    floor (0.57794189453125 × 8192)
    floor (4734.5)     		tx = 4734
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.43048095703125 × 213)
    floor (0.43048095703125 × 8192)
    floor (3526.5)     		ty = 3526
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4734 / 3526 ti = "13/4734/3526"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4734/3526.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4734 ÷ 213
    4734 ÷ 8192     		x = 0.577880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3526 ÷ 213
    3526 ÷ 8192     		y = 0.430419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577880859375 × 2 - 1) × π
    0.15576171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.48933987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430419921875 × 2 - 1) × π
    0.13916015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.437184524534912
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48933987} λ = 0.48933987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.437184524534912))-π/2
    2×atan(1.54834175774071)-π/2
    2×0.997342455552322-π/2
    1.99468491110464-1.57079632675     		φ = 0.42388858
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48933987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.037109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42388858 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.287027°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4734 KachelY 3526 0.48933987 0.42388858 28.037109 24.287027
    Oben rechts KachelX + 1 4735 KachelY 3526 0.49010686 0.42388858 28.081055 24.287027
    Unten links KachelX 4734 KachelY + 1 3527 0.48933987 0.42318937 28.037109 24.246965
    Unten rechts KachelX + 1 4735 KachelY + 1 3527 0.49010686 0.42318937 28.081055 24.246965
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42388858-0.42318937) × R
    0.000699210000000006 × 6371000     		dl = 4454.66691000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42388858-0.42318937) × R
    0.000699210000000006 × 6371000     		dr = 4454.66691000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48933987-0.49010686) × cos(0.42388858) × R
    0.000766989999999967 × 0.911496431740683 × 6371000     		do = 4454.0211975596m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48933987-0.49010686) × cos(0.42318937) × R
    0.000766989999999967 × 0.911783799557537 × 6371000     		du = 4455.42541846842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42388858)-sin(0.42318937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.911496431740683-0.911783799557537)×R²
    abs(0.49010686-0.48933987)×0.000287367816854123×R²
    0.000766989999999967×0.000287367816854123×6371000²
    0.000766989999999967×0.000287367816854123×40589641000000     		ar = 19844309.3218974m²