Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4734 / 3521
↖ ↑ ↗
← N 24.487149°
E 28.037109°		 ← 4 446.97 m → N 24.487149°
E 28.081055°		 →
↑
4 447.72 m
↓
↑
4 447.72 m
↓
N 24.447149°
E 28.037109°		 ← 4 448.39 m →
19 782 049 m²		 N 24.447149°
E 28.081055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4734 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3521 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57794189453125 y=0.42987060546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57794189453125 × 213)
    floor (0.57794189453125 × 8192)
    floor (4734.5)     		tx = 4734
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.42987060546875 × 213)
    floor (0.42987060546875 × 8192)
    floor (3521.5)     		ty = 3521
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4734 / 3521 ti = "13/4734/3521"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4734/3521.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4734 ÷ 213
    4734 ÷ 8192     		x = 0.577880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3521 ÷ 213
    3521 ÷ 8192     		y = 0.4298095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.577880859375 × 2 - 1) × π
    0.15576171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.48933987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4298095703125 × 2 - 1) × π
    0.140380859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.441019476504517
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48933987} λ = 0.48933987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.441019476504517))-π/2
    2×atan(1.55429097420269)-π/2
    2×0.9990888468179-π/2
    1.9981776936358-1.57079632675     		φ = 0.42738137
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48933987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.037109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42738137 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.487149°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4734 KachelY 3521 0.48933987 0.42738137 28.037109 24.487149
    Oben rechts KachelX + 1 4735 KachelY 3521 0.49010686 0.42738137 28.081055 24.487149
    Unten links KachelX 4734 KachelY + 1 3522 0.48933987 0.42668325 28.037109 24.447149
    Unten rechts KachelX + 1 4735 KachelY + 1 3522 0.49010686 0.42668325 28.081055 24.447149
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42738137-0.42668325) × R
    0.000698119999999969 × 6371000     		dl = 4447.7225199998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42738137-0.42668325) × R
    0.000698119999999969 × 6371000     		dr = 4447.7225199998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48933987-0.49010686) × cos(0.42738137) × R
    0.000766989999999967 × 0.910054262327982 × 6371000     		do = 4446.97404640139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48933987-0.49010686) × cos(0.42668325) × R
    0.000766989999999967 × 0.910343403689266 × 6371000     		du = 4448.38693372317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42738137)-sin(0.42668325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.910054262327982-0.910343403689266)×R²
    abs(0.49010686-0.48933987)×0.000289141361284107×R²
    0.000766989999999967×0.000289141361284107×6371000²
    0.000766989999999967×0.000289141361284107×40589641000000     		ar = 19782049.4808477m²