Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47333 / 55174
↖ ↑ ↗
← N 27.357132°
W 49.996032°		 ← 271.21 m → N 27.357132°
W 49.993286°		 →
↑
271.21 m
↓
↑
271.21 m
↓
N 27.354693°
W 49.996032°		 ← 271.22 m →
73 557 m²		 N 27.354693°
W 49.993286°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47333 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55174 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.361125946044922 y=0.420948028564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.361125946044922 × 217)
    floor (0.361125946044922 × 131072)
    floor (47333.5)     		tx = 47333
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420948028564453 × 217)
    floor (0.420948028564453 × 131072)
    floor (55174.5)     		ty = 55174
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47333 / 55174 ti = "17/47333/55174"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47333/55174.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47333 ÷ 217
    47333 ÷ 131072     		x = 0.361122131347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55174 ÷ 217
    55174 ÷ 131072     		y = 0.420944213867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.361122131347656 × 2 - 1) × π
    -0.277755737304688 × 3.1415926535     		Λ = -0.87259538
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420944213867188 × 2 - 1) × π
    0.158111572265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.496722153863022
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87259538} λ = -0.87259538}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.496722153863022))-π/2
    2×atan(1.64332586354008)-π/2
    2×1.02413417574332-π/2
    2.04826835148664-1.57079632675     		φ = 0.47747202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87259538} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.996032°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47747202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.357132°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47333 KachelY 55174 -0.87259538 0.47747202 -49.996032 27.357132
    Oben rechts KachelX + 1 47334 KachelY 55174 -0.87254745 0.47747202 -49.993286 27.357132
    Unten links KachelX 47333 KachelY + 1 55175 -0.87259538 0.47742945 -49.996032 27.354693
    Unten rechts KachelX + 1 47334 KachelY + 1 55175 -0.87254745 0.47742945 -49.993286 27.354693
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47747202-0.47742945) × R
    4.25700000000195e-05 × 6371000     		dl = 271.213470000124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47747202-0.47742945) × R
    4.25700000000195e-05 × 6371000     		dr = 271.213470000124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87259538--0.87254745) × cos(0.47747202) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.888159455805965 × 6371000     		do = 271.210174388771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87259538--0.87254745) × cos(0.47742945) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.888179017423044 × 6371000     		du = 271.216147763872m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47747202)-sin(0.47742945))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888159455805965-0.888179017423044)×R²
    abs(-0.87254745--0.87259538)×1.95616170793889e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.95616170793889e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.95616170793889e-05×40589641000000     		ar = 73556.6625362918m²