Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4733 / 3522
↖ ↑ ↗
← N 24.447149°
E 27.993164°		 ← 4 448.39 m → N 24.447149°
E 28.037109°		 →
↑
4 449.06 m
↓
↑
4 449.06 m
↓
N 24.407138°
E 27.993164°		 ← 4 449.80 m →
19 794 282 m²		 N 24.407138°
E 28.037109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4733 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3522 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57781982421875 y=0.42999267578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57781982421875 × 213)
    floor (0.57781982421875 × 8192)
    floor (4733.5)     		tx = 4733
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.42999267578125 × 213)
    floor (0.42999267578125 × 8192)
    floor (3522.5)     		ty = 3522
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4733 / 3522 ti = "13/4733/3522"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4733/3522.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4733 ÷ 213
    4733 ÷ 8192     		x = 0.5777587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3522 ÷ 213
    3522 ÷ 8192     		y = 0.429931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5777587890625 × 2 - 1) × π
    0.155517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.48857288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429931640625 × 2 - 1) × π
    0.14013671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.440252486110596
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48857288} λ = 0.48857288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.440252486110596))-π/2
    2×atan(1.55309930501395)-π/2
    2×0.998739789925913-π/2
    1.99747957985183-1.57079632675     		φ = 0.42668325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48857288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.993164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42668325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.447149°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4733 KachelY 3522 0.48857288 0.42668325 27.993164 24.447149
    Oben rechts KachelX + 1 4734 KachelY 3522 0.48933987 0.42668325 28.037109 24.447149
    Unten links KachelX 4733 KachelY + 1 3523 0.48857288 0.42598492 27.993164 24.407138
    Unten rechts KachelX + 1 4734 KachelY + 1 3523 0.48933987 0.42598492 28.037109 24.407138
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42668325-0.42598492) × R
    0.000698330000000025 × 6371000     		dl = 4449.06043000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42668325-0.42598492) × R
    0.000698330000000025 × 6371000     		dr = 4449.06043000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48857288-0.48933987) × cos(0.42668325) × R
    0.000766990000000023 × 0.910343403689266 × 6371000     		do = 4448.38693372349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48857288-0.48933987) × cos(0.42598492) × R
    0.000766990000000023 × 0.910632188150882 × 6371000     		du = 4449.79807705744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42668325)-sin(0.42598492))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.910343403689266-0.910632188150882)×R²
    abs(0.48933987-0.48857288)×0.000288784461615954×R²
    0.000766990000000023×0.000288784461615954×6371000²
    0.000766990000000023×0.000288784461615954×40589641000000     		ar = 19794282.2195574m²