Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4733 / 3469
↖ ↑ ↗
← N 26.549223°
E 27.993164°		 ← 4 371.22 m → N 26.549223°
E 28.037109°		 →
↑
4 371.97 m
↓
↑
4 371.97 m
↓
N 26.509905°
E 27.993164°		 ← 4 372.71 m →
19 114 106 m²		 N 26.509905°
E 28.037109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4733 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3469 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57781982421875 y=0.42352294921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57781982421875 × 213)
    floor (0.57781982421875 × 8192)
    floor (4733.5)     		tx = 4733
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.42352294921875 × 213)
    floor (0.42352294921875 × 8192)
    floor (3469.5)     		ty = 3469
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4733 / 3469 ti = "13/4733/3469"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4733/3469.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4733 ÷ 213
    4733 ÷ 8192     		x = 0.5777587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3469 ÷ 213
    3469 ÷ 8192     		y = 0.4234619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5777587890625 × 2 - 1) × π
    0.155517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.48857288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4234619140625 × 2 - 1) × π
    0.153076171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.480902976988403
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48857288} λ = 0.48857288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.480902976988403))-π/2
    2×atan(1.6175343392352)-π/2
    2×1.01708383730407-π/2
    2.03416767460814-1.57079632675     		φ = 0.46337135
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48857288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.993164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46337135 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.549223°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4733 KachelY 3469 0.48857288 0.46337135 27.993164 26.549223
    Oben rechts KachelX + 1 4734 KachelY 3469 0.48933987 0.46337135 28.037109 26.549223
    Unten links KachelX 4733 KachelY + 1 3470 0.48857288 0.46268512 27.993164 26.509905
    Unten rechts KachelX + 1 4734 KachelY + 1 3470 0.48933987 0.46268512 28.037109 26.509905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46337135-0.46268512) × R
    0.00068623000000001 × 6371000     		dl = 4371.97133000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46337135-0.46268512) × R
    0.00068623000000001 × 6371000     		dr = 4371.97133000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48857288-0.48933987) × cos(0.46337135) × R
    0.000766990000000023 × 0.894550703648474 × 6371000     		do = 4371.21601094318m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48857288-0.48933987) × cos(0.46268512) × R
    0.000766990000000023 × 0.894857214808168 × 6371000     		du = 4372.71377566833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46337135)-sin(0.46268512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894550703648474-0.894857214808168)×R²
    abs(0.48933987-0.48857288)×0.000306511159693934×R²
    0.000766990000000023×0.000306511159693934×6371000²
    0.000766990000000023×0.000306511159693934×40589641000000     		ar = 19114105.9193876m²