Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47323 / 55201
↖ ↑ ↗
← N 27.291248°
W 50.023498°		 ← 271.37 m → N 27.291248°
W 50.020752°		 →
↑
271.40 m
↓
↑
271.40 m
↓
N 27.288808°
W 50.023498°		 ← 271.38 m →
73 652 m²		 N 27.288808°
W 50.020752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47323 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55201 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.361049652099609 y=0.421154022216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.361049652099609 × 217)
    floor (0.361049652099609 × 131072)
    floor (47323.5)     		tx = 47323
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421154022216797 × 217)
    floor (0.421154022216797 × 131072)
    floor (55201.5)     		ty = 55201
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47323 / 55201 ti = "17/47323/55201"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47323/55201.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47323 ÷ 217
    47323 ÷ 131072     		x = 0.361045837402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55201 ÷ 217
    55201 ÷ 131072     		y = 0.421150207519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.361045837402344 × 2 - 1) × π
    -0.277908325195312 × 3.1415926535     		Λ = -0.87307475
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421150207519531 × 2 - 1) × π
    0.157699584960938 × 3.1415926535     		Φ = 0.49542785757328
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87307475} λ = -0.87307475}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.49542785757328))-π/2
    2×atan(1.64120028883052)-π/2
    2×1.02355923416371-π/2
    2.04711846832742-1.57079632675     		φ = 0.47632214
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87307475} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.023498°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47632214 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.291248°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47323 KachelY 55201 -0.87307475 0.47632214 -50.023498 27.291248
    Oben rechts KachelX + 1 47324 KachelY 55201 -0.87302682 0.47632214 -50.020752 27.291248
    Unten links KachelX 47323 KachelY + 1 55202 -0.87307475 0.47627954 -50.023498 27.288808
    Unten rechts KachelX + 1 47324 KachelY + 1 55202 -0.87302682 0.47627954 -50.020752 27.288808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47632214-0.47627954) × R
    4.26000000000037e-05 × 6371000     		dl = 271.404600000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47632214-0.47627954) × R
    4.26000000000037e-05 × 6371000     		dr = 271.404600000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87307475--0.87302682) × cos(0.47632214) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.888687279078963 × 6371000     		do = 271.371351574895m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87307475--0.87302682) × cos(0.47627954) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.888706810961167 × 6371000     		du = 271.377315870094m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47632214)-sin(0.47627954))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888687279078963-0.888706810961167)×R²
    abs(-0.87302682--0.87307475)×1.95318822038271e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.95318822038271e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.95318822038271e-05×40589641000000     		ar = 73652.2425054607m²