Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4732 / 3420
↖ ↑ ↗
← N 28.459033°
E 27.949219°		 ← 4 296 m → N 28.459033°
E 27.993164°		 →
↑
4 296.79 m
↓
↑
4 296.79 m
↓
N 28.420391°
E 27.949219°		 ← 4 297.57 m →
18 462 397 m²		 N 28.420391°
E 27.993164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4732 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3420 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57769775390625 y=0.41754150390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57769775390625 × 213)
    floor (0.57769775390625 × 8192)
    floor (4732.5)     		tx = 4732
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.41754150390625 × 213)
    floor (0.41754150390625 × 8192)
    floor (3420.5)     		ty = 3420
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4732 / 3420 ti = "13/4732/3420"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4732/3420.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4732 ÷ 213
    4732 ÷ 8192     		x = 0.57763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3420 ÷ 213
    3420 ÷ 8192     		y = 0.41748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57763671875 × 2 - 1) × π
    0.1552734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.48780589
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41748046875 × 2 - 1) × π
    0.1650390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.518485506290527
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48780589} λ = 0.48780589}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.518485506290527))-π/2
    2×atan(1.6794821574568)-π/2
    2×1.03375007745495-π/2
    2.06750015490991-1.57079632675     		φ = 0.49670383
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48780589} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.949219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49670383 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.459033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4732 KachelY 3420 0.48780589 0.49670383 27.949219 28.459033
    Oben rechts KachelX + 1 4733 KachelY 3420 0.48857288 0.49670383 27.993164 28.459033
    Unten links KachelX 4732 KachelY + 1 3421 0.48780589 0.49602940 27.949219 28.420391
    Unten rechts KachelX + 1 4733 KachelY + 1 3421 0.48857288 0.49602940 27.993164 28.420391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49670383-0.49602940) × R
    0.000674430000000004 × 6371000     		dl = 4296.79353000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49670383-0.49602940) × R
    0.000674430000000004 × 6371000     		dr = 4296.79353000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48780589-0.48857288) × cos(0.49670383) × R
    0.000766989999999967 × 0.879158059759019 × 6371000     		do = 4295.99995986168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48780589-0.48857288) × cos(0.49602940) × R
    0.000766989999999967 × 0.879479246105049 × 6371000     		du = 4297.5694347864m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49670383)-sin(0.49602940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879158059759019-0.879479246105049)×R²
    abs(0.48857288-0.48780589)×0.000321186346030733×R²
    0.000766989999999967×0.000321186346030733×6371000²
    0.000766989999999967×0.000321186346030733×40589641000000     		ar = 18462397.3870749m²