Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4732 / 2668
↖ ↑ ↗
← N 81.754759°
W128.012695°		 ← 175.20 m → N 81.754759°
W128.001709°		 →
↑
175.20 m
↓
↑
175.20 m
↓
N 81.753183°
W128.012695°		 ← 175.23 m →
30 698 m²		 N 81.753183°
W128.001709°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4732 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2668 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144424438476562 y=0.0814361572265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144424438476562 × 215)
    floor (0.144424438476562 × 32768)
    floor (4732.5)     		tx = 4732
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0814361572265625 × 215)
    floor (0.0814361572265625 × 32768)
    floor (2668.5)     		ty = 2668
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4732 / 2668 ti = "15/4732/2668"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4732/2668.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4732 ÷ 215
    4732 ÷ 32768     		x = 0.1444091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2668 ÷ 215
    2668 ÷ 32768     		y = 0.0814208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1444091796875 × 2 - 1) × π
    -0.711181640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.23424302
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0814208984375 × 2 - 1) × π
    0.837158203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.63001006075476
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23424302} λ = -2.23424302}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.63001006075476))-π/2
    2×atan(13.8739094834286)-π/2
    2×1.49884302150135-π/2
    2.9976860430027-1.57079632675     		φ = 1.42688972
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23424302} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.012695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42688972 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.754759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4732 KachelY 2668 -2.23424302 1.42688972 -128.012695 81.754759
    Oben rechts KachelX + 1 4733 KachelY 2668 -2.23405127 1.42688972 -128.001709 81.754759
    Unten links KachelX 4732 KachelY + 1 2669 -2.23424302 1.42686222 -128.012695 81.753183
    Unten rechts KachelX + 1 4733 KachelY + 1 2669 -2.23405127 1.42686222 -128.001709 81.753183
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42688972-1.42686222) × R
    2.74999999998471e-05 × 6371000     		dl = 175.202499999026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42688972-1.42686222) × R
    2.74999999998471e-05 × 6371000     		dr = 175.202499999026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23424302--2.23405127) × cos(1.42688972) × R
    0.000191749999999935 × 0.14341042452124 × 6371000     		do = 175.19580345425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23424302--2.23405127) × cos(1.42686222) × R
    0.000191749999999935 × 0.143437640207798 × 6371000     		du = 175.229051205165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42688972)-sin(1.42686222))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14341042452124-0.143437640207798)×R²
    abs(-2.23405127--2.23424302)×2.72156865578632e-05×R²
    0.000191749999999935×2.72156865578632e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.72156865578632e-05×40589641000000     		ar = 30697.6553007839m²