Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 47287 / 56294
↖ ↑ ↗
← N 24.592085°
W 50.122375°		 ← 277.72 m → N 24.592085°
W 50.119629°		 →
↑
277.71 m
↓
↑
277.71 m
↓
N 24.589588°
W 50.122375°		 ← 277.73 m →
77 127 m²		 N 24.589588°
W 50.119629°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47287 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56294 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360774993896484 y=0.429492950439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360774993896484 × 217)
    floor (0.360774993896484 × 131072)
    floor (47287.5)     		tx = 47287
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429492950439453 × 217)
    floor (0.429492950439453 × 131072)
    floor (56294.5)     		ty = 56294
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47287 / 56294 ti = "17/47287/56294"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47287/56294.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47287 ÷ 217
    47287 ÷ 131072     		x = 0.360771179199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56294 ÷ 217
    56294 ÷ 131072     		y = 0.429489135742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.360771179199219 × 2 - 1) × π
    -0.278457641601562 × 3.1415926535     		Λ = -0.87480048
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429489135742188 × 2 - 1) × π
    0.141021728515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.443032826288559
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87480048} λ = -0.87480048}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.443032826288559))-π/2
    2×atan(1.55742345793451)-π/2
    2×1.00000459292968-π/2
    2.00000918585937-1.57079632675     		φ = 0.42921286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87480048} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.122375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42921286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.592085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47287 KachelY 56294 -0.87480048 0.42921286 -50.122375 24.592085
    Oben rechts KachelX + 1 47288 KachelY 56294 -0.87475254 0.42921286 -50.119629 24.592085
    Unten links KachelX 47287 KachelY + 1 56295 -0.87480048 0.42916927 -50.122375 24.589588
    Unten rechts KachelX + 1 47288 KachelY + 1 56295 -0.87475254 0.42916927 -50.119629 24.589588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42921286-0.42916927) × R
    4.35899999999823e-05 × 6371000     		dl = 277.711889999887m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42921286-0.42916927) × R
    4.35899999999823e-05 × 6371000     		dr = 277.711889999887m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87480048--0.87475254) × cos(0.42921286) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.909293603731676 × 6371000     		do = 277.721671796832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87480048--0.87475254) × cos(0.42916927) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.909311743072536 × 6371000     		du = 277.727212018437m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42921286)-sin(0.42916927))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.909293603731676-0.909311743072536)×R²
    abs(-0.87475254--0.87480048)×1.8139340859924e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.8139340859924e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.8139340859924e-05×40589641000000     		ar = 77127.3796734924m²