Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4728 / 3544
↖ ↑ ↗
← N 23.563987°
E 27.773438°		 ← 4 479.03 m → N 23.563987°
E 27.817383°		 →
↑
4 479.70 m
↓
↑
4 479.70 m
↓
N 23.523700°
E 27.773438°		 ← 4 480.40 m →
20 067 804 m²		 N 23.523700°
E 27.817383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57720947265625 y=0.43267822265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57720947265625 × 213)
    floor (0.57720947265625 × 8192)
    floor (4728.5)     		tx = 4728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.43267822265625 × 213)
    floor (0.43267822265625 × 8192)
    floor (3544.5)     		ty = 3544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4728 / 3544 ti = "13/4728/3544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4728/3544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4728 ÷ 213
    4728 ÷ 8192     		x = 0.5771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3544 ÷ 213
    3544 ÷ 8192     		y = 0.4326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5771484375 × 2 - 1) × π
    0.154296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.48473793
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4326171875 × 2 - 1) × π
    0.134765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.423378697444336
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48473793} λ = 0.48473793}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.423378697444336))-π/2
    2×atan(1.52711250007833)-π/2
    2×0.991032743536421-π/2
    1.98206548707284-1.57079632675     		φ = 0.41126916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48473793} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.773438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41126916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.563987°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4728 KachelY 3544 0.48473793 0.41126916 27.773438 23.563987
    Oben rechts KachelX + 1 4729 KachelY 3544 0.48550492 0.41126916 27.817383 23.563987
    Unten links KachelX 4728 KachelY + 1 3545 0.48473793 0.41056602 27.773438 23.523700
    Unten rechts KachelX + 1 4729 KachelY + 1 3545 0.48550492 0.41056602 27.817383 23.523700
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41126916-0.41056602) × R
    0.000703140000000047 × 6371000     		dl = 4479.7049400003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41126916-0.41056602) × R
    0.000703140000000047 × 6371000     		dr = 4479.7049400003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48473793-0.48550492) × cos(0.41126916) × R
    0.000766990000000023 × 0.916614185303787 × 6371000     		do = 4479.02906600591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48473793-0.48550492) × cos(0.41056602) × R
    0.000766990000000023 × 0.916895055063869 × 6371000     		du = 4480.40153420391m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41126916)-sin(0.41056602))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916614185303787-0.916895055063869)×R²
    abs(0.48550492-0.48473793)×0.000280869760082347×R²
    0.000766990000000023×0.000280869760082347×6371000²
    0.000766990000000023×0.000280869760082347×40589641000000     		ar = 20067803.5864772m²