Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47278 / 55334
↖ ↑ ↗
← N 26.966142°
W 50.147095°		 ← 272.16 m → N 26.966142°
W 50.144348°		 →
↑
272.17 m
↓
↑
272.17 m
↓
N 26.963694°
W 50.147095°		 ← 272.17 m →
74 075 m²		 N 26.963694°
W 50.144348°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55334 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360706329345703 y=0.422168731689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360706329345703 × 217)
    floor (0.360706329345703 × 131072)
    floor (47278.5)     		tx = 47278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422168731689453 × 217)
    floor (0.422168731689453 × 131072)
    floor (55334.5)     		ty = 55334
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47278 / 55334 ti = "17/47278/55334"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47278/55334.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47278 ÷ 217
    47278 ÷ 131072     		x = 0.360702514648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55334 ÷ 217
    55334 ÷ 131072     		y = 0.422164916992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.360702514648438 × 2 - 1) × π
    -0.278594970703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.87523191
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422164916992188 × 2 - 1) × π
    0.155670166015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.489052249923813
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87523191} λ = -0.87523191}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.489052249923813))-π/2
    2×atan(1.63076992499988)-π/2
    2×1.02072214383082-π/2
    2.04144428766165-1.57079632675     		φ = 0.47064796
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87523191} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.147095°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47064796 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.966142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47278 KachelY 55334 -0.87523191 0.47064796 -50.147095 26.966142
    Oben rechts KachelX + 1 47279 KachelY 55334 -0.87518398 0.47064796 -50.144348 26.966142
    Unten links KachelX 47278 KachelY + 1 55335 -0.87523191 0.47060524 -50.147095 26.963694
    Unten rechts KachelX + 1 47279 KachelY + 1 55335 -0.87518398 0.47060524 -50.144348 26.963694
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47064796-0.47060524) × R
    4.27199999999961e-05 × 6371000     		dl = 272.169119999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47064796-0.47060524) × R
    4.27199999999961e-05 × 6371000     		dr = 272.169119999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87523191--0.87518398) × cos(0.47064796) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.891274648854959 × 6371000     		do = 272.161436062054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87523191--0.87518398) × cos(0.47060524) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.891294020019083 × 6371000     		du = 272.167351280054m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47064796)-sin(0.47060524))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.891274648854959-0.891294020019083)×R²
    abs(-0.87518398--0.87523191)×1.93711641239824e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.93711641239824e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.93711641239824e-05×40589641000000     		ar = 74074.7435320513m²