Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 47275 / 55338
↖ ↑ ↗
← N 26.956349°
W 50.155334°		 ← 272.19 m → N 26.956349°
W 50.152588°		 →
↑
272.23 m
↓
↑
272.23 m
↓
N 26.953901°
W 50.155334°		 ← 272.19 m →
74 099 m²		 N 26.953901°
W 50.152588°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47275 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55338 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360683441162109 y=0.422199249267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360683441162109 × 217)
    floor (0.360683441162109 × 131072)
    floor (47275.5)     		tx = 47275
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422199249267578 × 217)
    floor (0.422199249267578 × 131072)
    floor (55338.5)     		ty = 55338
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47275 / 55338 ti = "17/47275/55338"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47275/55338.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47275 ÷ 217
    47275 ÷ 131072     		x = 0.360679626464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55338 ÷ 217
    55338 ÷ 131072     		y = 0.422195434570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.360679626464844 × 2 - 1) × π
    -0.278640747070312 × 3.1415926535     		Λ = -0.87537572
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422195434570312 × 2 - 1) × π
    0.155609130859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.488860502325333
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87537572} λ = -0.87537572}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.488860502325333))-π/2
    2×atan(1.63045725876055)-π/2
    2×1.02063669022946-π/2
    2.04127338045892-1.57079632675     		φ = 0.47047705
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87537572} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.155334°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47047705 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.956349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47275 KachelY 55338 -0.87537572 0.47047705 -50.155334 26.956349
    Oben rechts KachelX + 1 47276 KachelY 55338 -0.87532779 0.47047705 -50.152588 26.956349
    Unten links KachelX 47275 KachelY + 1 55339 -0.87537572 0.47043432 -50.155334 26.953901
    Unten rechts KachelX + 1 47276 KachelY + 1 55339 -0.87532779 0.47043432 -50.152588 26.953901
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47047705-0.47043432) × R
    4.27299999999908e-05 × 6371000     		dl = 272.232829999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47047705-0.47043432) × R
    4.27299999999908e-05 × 6371000     		dr = 272.232829999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87537572--0.87532779) × cos(0.47047705) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.891352137351 × 6371000     		do = 272.185098105876m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87537572--0.87532779) × cos(0.47043432) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.891371506540063 × 6371000     		du = 272.191012720768m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47047705)-sin(0.47043432))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.891352137351-0.891371506540063)×R²
    abs(-0.87532779--0.87537572)×1.93691890636449e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.93691890636449e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.93691890636449e-05×40589641000000     		ar = 74098.5246286095m²