Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47273 / 55337
↖ ↑ ↗
← N 26.958798°
W 50.160828°		 ← 272.24 m → N 26.958798°
W 50.158081°		 →
↑
272.23 m
↓
↑
272.23 m
↓
N 26.956349°
W 50.160828°		 ← 272.24 m →
74 112 m²		 N 26.956349°
W 50.158081°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47273 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55337 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360668182373047 y=0.422191619873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360668182373047 × 217)
    floor (0.360668182373047 × 131072)
    floor (47273.5)     		tx = 47273
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422191619873047 × 217)
    floor (0.422191619873047 × 131072)
    floor (55337.5)     		ty = 55337
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47273 / 55337 ti = "17/47273/55337"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47273/55337.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47273 ÷ 217
    47273 ÷ 131072     		x = 0.360664367675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55337 ÷ 217
    55337 ÷ 131072     		y = 0.422187805175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.360664367675781 × 2 - 1) × π
    -0.278671264648438 × 3.1415926535     		Λ = -0.87547160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422187805175781 × 2 - 1) × π
    0.155624389648438 × 3.1415926535     		Φ = 0.488908439224953
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87547160} λ = -0.87547160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.488908439224953))-π/2
    2×atan(1.63053541969988)-π/2
    2×1.02065805432625-π/2
    2.04131610865251-1.57079632675     		φ = 0.47051978
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87547160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.160828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47051978 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.958798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47273 KachelY 55337 -0.87547160 0.47051978 -50.160828 26.958798
    Oben rechts KachelX + 1 47274 KachelY 55337 -0.87542366 0.47051978 -50.158081 26.958798
    Unten links KachelX 47273 KachelY + 1 55338 -0.87547160 0.47047705 -50.160828 26.956349
    Unten rechts KachelX + 1 47274 KachelY + 1 55338 -0.87542366 0.47047705 -50.158081 26.956349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47051978-0.47047705) × R
    4.27299999999908e-05 × 6371000     		dl = 272.232829999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47051978-0.47047705) × R
    4.27299999999908e-05 × 6371000     		dr = 272.232829999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87547160--0.87542366) × cos(0.47051978) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.891332766534458 × 6371000     		do = 272.235969804856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87547160--0.87542366) × cos(0.47047705) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.891352137351 × 6371000     		du = 272.241886150832m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47051978)-sin(0.47047705))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.891332766534458-0.891352137351)×R²
    abs(-0.87542366--0.87547160)×1.93708165414641e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.93708165414641e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.93708165414641e-05×40589641000000     		ar = 74112.3738108552m²