Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4727 / 3543
↖ ↑ ↗
← N 80.255251°
W128.067627°		 ← 206.77 m → N 80.255251°
W128.056641°		 →
↑
206.80 m
↓
↑
206.80 m
↓
N 80.253391°
W128.067627°		 ← 206.81 m →
42 765 m²		 N 80.253391°
W128.056641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3543 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.144271850585938 y=0.108139038085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.144271850585938 × 215)
    floor (0.144271850585938 × 32768)
    floor (4727.5)     		tx = 4727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108139038085938 × 215)
    floor (0.108139038085938 × 32768)
    floor (3543.5)     		ty = 3543
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4727 / 3543 ti = "15/4727/3543"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4727/3543.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4727 ÷ 215
    4727 ÷ 32768     		x = 0.144256591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3543 ÷ 215
    3543 ÷ 32768     		y = 0.108123779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.144256591796875 × 2 - 1) × π
    -0.71148681640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.23520176
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.108123779296875 × 2 - 1) × π
    0.78375244140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.46223091208456
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23520176} λ = -2.23520176}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46223091208456))-π/2
    2×atan(11.7309530944056)-π/2
    2×1.48575734605063-π/2
    2.97151469210126-1.57079632675     		φ = 1.40071837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23520176} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.067627°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40071837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.255251°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4727 KachelY 3543 -2.23520176 1.40071837 -128.067627 80.255251
    Oben rechts KachelX + 1 4728 KachelY 3543 -2.23501001 1.40071837 -128.056641 80.255251
    Unten links KachelX 4727 KachelY + 1 3544 -2.23520176 1.40068591 -128.067627 80.253391
    Unten rechts KachelX + 1 4728 KachelY + 1 3544 -2.23501001 1.40068591 -128.056641 80.253391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40071837-1.40068591) × R
    3.24600000001229e-05 × 6371000     		dl = 206.802660000783m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40071837-1.40068591) × R
    3.24600000001229e-05 × 6371000     		dr = 206.802660000783m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23520176--2.23501001) × cos(1.40071837) × R
    0.000191749999999935 × 0.169259181582363 × 6371000     		do = 206.773659643821m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23520176--2.23501001) × cos(1.40068591) × R
    0.000191749999999935 × 0.169291173146512 × 6371000     		du = 206.812741794254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40071837)-sin(1.40068591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169259181582363-0.169291173146512)×R²
    abs(-2.23501001--2.23520176)×3.19915641489588e-05×R²
    0.000191749999999935×3.19915641489588e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.19915641489588e-05×40589641000000     		ar = 42765.3839824606m²