Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47269 / 55335
↖ ↑ ↗
← N 26.963694°
W 50.171814°		 ← 272.22 m → N 26.963694°
W 50.169067°		 →
↑
272.23 m
↓
↑
272.23 m
↓
N 26.961246°
W 50.171814°		 ← 272.23 m →
74 109 m²		 N 26.961246°
W 50.169067°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55335 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360637664794922 y=0.422176361083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360637664794922 × 217)
    floor (0.360637664794922 × 131072)
    floor (47269.5)     		tx = 47269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422176361083984 × 217)
    floor (0.422176361083984 × 131072)
    floor (55335.5)     		ty = 55335
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47269 / 55335 ti = "17/47269/55335"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47269/55335.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47269 ÷ 217
    47269 ÷ 131072     		x = 0.360633850097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55335 ÷ 217
    55335 ÷ 131072     		y = 0.422172546386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.360633850097656 × 2 - 1) × π
    -0.278732299804688 × 3.1415926535     		Λ = -0.87566335
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422172546386719 × 2 - 1) × π
    0.155654907226562 × 3.1415926535     		Φ = 0.489004313024193
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87566335} λ = -0.87566335}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.489004313024193))-π/2
    2×atan(1.63069175281936)-π/2
    2×1.02070078112697-π/2
    2.04140156225393-1.57079632675     		φ = 0.47060524
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87566335} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.171814°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47060524 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.963694°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47269 KachelY 55335 -0.87566335 0.47060524 -50.171814 26.963694
    Oben rechts KachelX + 1 47270 KachelY 55335 -0.87561541 0.47060524 -50.169067 26.963694
    Unten links KachelX 47269 KachelY + 1 55336 -0.87566335 0.47056251 -50.171814 26.961246
    Unten rechts KachelX + 1 47270 KachelY + 1 55336 -0.87561541 0.47056251 -50.169067 26.961246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47060524-0.47056251) × R
    4.27299999999908e-05 × 6371000     		dl = 272.232829999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47060524-0.47056251) × R
    4.27299999999908e-05 × 6371000     		dr = 272.232829999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87566335--0.87561541) × cos(0.47060524) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.891294020019083 × 6371000     		do = 272.224135621725m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87566335--0.87561541) × cos(0.47056251) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.891313394090474 × 6371000     		du = 272.230052961816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47060524)-sin(0.47056251))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.891294020019083-0.891313394090474)×R²
    abs(-0.87561541--0.87566335)×1.93740713911872e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.93740713911872e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.93740713911872e-05×40589641000000     		ar = 74109.1522929894m²