Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47264 / 55457
↖ ↑ ↗
← N 26.664642°
W 50.185547°		 ← 272.94 m → N 26.664642°
W 50.182800°		 →
↑
272.93 m
↓
↑
272.93 m
↓
N 26.662187°
W 50.185547°		 ← 272.95 m →
74 496 m²		 N 26.662187°
W 50.182800°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55457 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360599517822266 y=0.423107147216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360599517822266 × 217)
    floor (0.360599517822266 × 131072)
    floor (47264.5)     		tx = 47264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423107147216797 × 217)
    floor (0.423107147216797 × 131072)
    floor (55457.5)     		ty = 55457
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47264 / 55457 ti = "17/47264/55457"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47264/55457.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47264 ÷ 217
    47264 ÷ 131072     		x = 0.360595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55457 ÷ 217
    55457 ÷ 131072     		y = 0.423103332519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.360595703125 × 2 - 1) × π
    -0.27880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.87590303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423103332519531 × 2 - 1) × π
    0.153793334960938 × 3.1415926535     		Φ = 0.483156011270546
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87590303} λ = -0.87590303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.483156011270546))-π/2
    2×atan(1.62118280807337)-π/2
    2×1.01809105608937-π/2
    2.03618211217874-1.57079632675     		φ = 0.46538579
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87590303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.185547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46538579 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.664642°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47264 KachelY 55457 -0.87590303 0.46538579 -50.185547 26.664642
    Oben rechts KachelX + 1 47265 KachelY 55457 -0.87585509 0.46538579 -50.182800 26.664642
    Unten links KachelX 47264 KachelY + 1 55458 -0.87590303 0.46534295 -50.185547 26.662187
    Unten rechts KachelX + 1 47265 KachelY + 1 55458 -0.87585509 0.46534295 -50.182800 26.662187
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46538579-0.46534295) × R
    4.2840000000044e-05 × 6371000     		dl = 272.93364000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46538579-0.46534295) × R
    4.2840000000044e-05 × 6371000     		dr = 272.93364000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87590303--0.87585509) × cos(0.46538579) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.893648502062957 × 6371000     		do = 272.943255042923m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87590303--0.87585509) × cos(0.46534295) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.893667726446701 × 6371000     		du = 272.949126664554m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46538579)-sin(0.46534295))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.893648502062957-0.893667726446701)×R²
    abs(-0.87585509--0.87590303)×1.92243837436878e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.92243837436878e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.92243837436878e-05×40589641000000     		ar = 74496.1974053197m²