Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47264 / 55328
↖ ↑ ↗
← N 26.980828°
W 50.185547°		 ← 272.18 m → N 26.980828°
W 50.182800°		 →
↑
272.17 m
↓
↑
272.17 m
↓
N 26.978381°
W 50.185547°		 ← 272.19 m →
74 081 m²		 N 26.978381°
W 50.182800°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55328 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360599517822266 y=0.422122955322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360599517822266 × 217)
    floor (0.360599517822266 × 131072)
    floor (47264.5)     		tx = 47264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422122955322266 × 217)
    floor (0.422122955322266 × 131072)
    floor (55328.5)     		ty = 55328
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47264 / 55328 ti = "17/47264/55328"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47264/55328.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47264 ÷ 217
    47264 ÷ 131072     		x = 0.360595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55328 ÷ 217
    55328 ÷ 131072     		y = 0.422119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.360595703125 × 2 - 1) × π
    -0.27880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.87590303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422119140625 × 2 - 1) × π
    0.15576171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.489339871321533
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87590303} λ = -0.87590303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.489339871321533))-π/2
    2×atan(1.63123903678513)-π/2
    2×1.0208503103012-π/2
    2.04170062060239-1.57079632675     		φ = 0.47090429
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87590303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.185547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47090429 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.980828°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47264 KachelY 55328 -0.87590303 0.47090429 -50.185547 26.980828
    Oben rechts KachelX + 1 47265 KachelY 55328 -0.87585509 0.47090429 -50.182800 26.980828
    Unten links KachelX 47264 KachelY + 1 55329 -0.87590303 0.47086157 -50.185547 26.978381
    Unten rechts KachelX + 1 47265 KachelY + 1 55329 -0.87585509 0.47086157 -50.182800 26.978381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47090429-0.47086157) × R
    4.27199999999961e-05 × 6371000     		dl = 272.169119999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47090429-0.47086157) × R
    4.27199999999961e-05 × 6371000     		dr = 272.169119999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87590303--0.87585509) × cos(0.47090429) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.891158383176458 × 6371000     		do = 272.182708639325m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87590303--0.87585509) × cos(0.47086157) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.891177764099882 × 6371000     		du = 272.188628072204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47090429)-sin(0.47086157))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.891158383176458-0.891177764099882)×R²
    abs(-0.87585509--0.87590303)×1.938092342324e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.938092342324e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.938092342324e-05×40589641000000     		ar = 74080.5338443133m²