Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47262 / 56226
↖ ↑ ↗
← N 24.761797°
W 50.191040°		 ← 277.29 m → N 24.761797°
W 50.188294°		 →
↑
277.33 m
↓
↑
277.33 m
↓
N 24.759303°
W 50.191040°		 ← 277.29 m →
76 900 m²		 N 24.759303°
W 50.188294°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47262 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360584259033203 y=0.428974151611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360584259033203 × 217)
    floor (0.360584259033203 × 131072)
    floor (47262.5)     		tx = 47262
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428974151611328 × 217)
    floor (0.428974151611328 × 131072)
    floor (56226.5)     		ty = 56226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47262 / 56226 ti = "17/47262/56226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47262/56226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47262 ÷ 217
    47262 ÷ 131072     		x = 0.360580444335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56226 ÷ 217
    56226 ÷ 131072     		y = 0.428970336914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.360580444335938 × 2 - 1) × π
    -0.278839111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.87599890
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428970336914062 × 2 - 1) × π
    0.142059326171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.446292535462723
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87599890} λ = -0.87599890}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.446292535462723))-π/2
    2×atan(1.56250848882666)-π/2
    2×1.00148560235854-π/2
    2.00297120471707-1.57079632675     		φ = 0.43217488
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87599890} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.191040°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43217488 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.761797°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47262 KachelY 56226 -0.87599890 0.43217488 -50.191040 24.761797
    Oben rechts KachelX + 1 47263 KachelY 56226 -0.87595097 0.43217488 -50.188294 24.761797
    Unten links KachelX 47262 KachelY + 1 56227 -0.87599890 0.43213135 -50.191040 24.759303
    Unten rechts KachelX + 1 47263 KachelY + 1 56227 -0.87595097 0.43213135 -50.188294 24.759303
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43217488-0.43213135) × R
    4.35299999999583e-05 × 6371000     		dl = 277.329629999734m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43217488-0.43213135) × R
    4.35299999999583e-05 × 6371000     		dr = 277.329629999734m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87599890--0.87595097) × cos(0.43217488) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.908056956668882 × 6371000     		do = 277.286115644202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87599890--0.87595097) × cos(0.43213135) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.908075188205684 × 6371000     		du = 277.29168286329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43217488)-sin(0.43213135))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.908056956668882-0.908075188205684)×R²
    abs(-0.87595097--0.87599890)×1.8231536802138e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.8231536802138e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.8231536802138e-05×40589641000000     		ar = 76900.4278451945m²