Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4726 / 3531
↖ ↑ ↗
← N 24.086589°
E 27.685547°		 ← 4 461.02 m → N 24.086589°
E 27.729492°		 →
↑
4 461.74 m
↓
↑
4 461.74 m
↓
N 24.046464°
E 27.685547°		 ← 4 462.42 m →
19 907 042 m²		 N 24.046464°
E 27.729492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4726 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3531 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57696533203125 y=0.43109130859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57696533203125 × 213)
    floor (0.57696533203125 × 8192)
    floor (4726.5)     		tx = 4726
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.43109130859375 × 213)
    floor (0.43109130859375 × 8192)
    floor (3531.5)     		ty = 3531
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4726 / 3531 ti = "13/4726/3531"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4726/3531.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4726 ÷ 213
    4726 ÷ 8192     		x = 0.576904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3531 ÷ 213
    3531 ÷ 8192     		y = 0.4310302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576904296875 × 2 - 1) × π
    0.15380859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.48320395
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4310302734375 × 2 - 1) × π
    0.137939453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.433349572565308
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48320395} λ = 0.48320395}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.433349572565308))-π/2
    2×atan(1.54241531254686)-π/2
    2×0.995593307457583-π/2
    1.99118661491517-1.57079632675     		φ = 0.42039029
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48320395} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.685547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42039029 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.086589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4726 KachelY 3531 0.48320395 0.42039029 27.685547 24.086589
    Oben rechts KachelX + 1 4727 KachelY 3531 0.48397094 0.42039029 27.729492 24.086589
    Unten links KachelX 4726 KachelY + 1 3532 0.48320395 0.41968997 27.685547 24.046464
    Unten rechts KachelX + 1 4727 KachelY + 1 3532 0.48397094 0.41968997 27.729492 24.046464
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42039029-0.41968997) × R
    0.000700319999999977 × 6371000     		dl = 4461.73871999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42039029-0.41968997) × R
    0.000700319999999977 × 6371000     		dr = 4461.73871999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48320395-0.48397094) × cos(0.42039029) × R
    0.000766990000000023 × 0.912929725945402 × 6371000     		do = 4461.02498007388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48320395-0.48397094) × cos(0.41968997) × R
    0.000766990000000023 × 0.91321531440113 × 6371000     		du = 4462.42050614649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42039029)-sin(0.41968997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.912929725945402-0.91321531440113)×R²
    abs(0.48397094-0.48320395)×0.00028558845572757×R²
    0.000766990000000023×0.00028558845572757×6371000²
    0.000766990000000023×0.00028558845572757×40589641000000     		ar = 19907041.934453m²